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${\begin{aligned}-{\frac {1}{2}}4d=\mathrm {A} &-\mathrm {B} \left({\frac {\pi ^{2}}{2.3}}-{\frac {1}{4^{2}}}\right)+\mathrm {C} \left({\frac {\pi ^{4}}{2.3.4.5}}-{\frac {1}{4^{2}}}{\frac {\pi ^{2}}{2.3}}+{\frac {1}{4^{4}}}\right)\\&-\mathrm {D} \left({\frac {\pi ^{6}}{2.3.4.5.6.7}}-{\frac {1}{4^{2}}}{\frac {\pi ^{4}}{2.3.4.5}}+{\frac {1}{4^{4}}}{\frac {\pi ^{2}}{2.3}}-{\frac {1}{4^{6}}}\right)\\&+\mathrm {E} \left({\frac {\pi ^{8}}{2.3.4.5.6.7.8.9}}-{\frac {1}{4^{2}}}{\frac {\pi ^{6}}{2.3.4.5.6.7}}+{\frac {1}{4^{4}}}{\frac {\pi ^{4}}{2.3.4.5}}-{\frac {1}{4^{6}}}{\frac {\pi ^{2}}{2.3}}+{\frac {1}{4^{8}}}\right)\\&\qquad {\text{etc}}.\end{aligned}}$

Ayant les valeurs de $a,\,b,\,c,\,d,\ldots ,$ on les substituera dans l’équation proposée

$\varphi x=a\sin .x+b\sin .2x+c\sin .3x+d\sin .4x+$etc.

Mettant aussi au lieu des quantités $\mathrm {A,\,B,\,C,\,D} ,\ldots ,$ leurs valeurs $\varphi '0,\,\varphi '''0,$ $\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}0,\,\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}}0,\ldots ,$ on aura l’équation générale

$(\mathrm {A} ){\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\varphi x=\quad \sin .\ \ x&\left[\varphi '0+\varphi '''0\left({\frac {\pi ^{2}}{2.3}}-{\frac {1}{1^{2}}}\right)+\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}0\left({\frac {\pi ^{4}}{2.3.4.5}}-{\frac {1}{1^{2}}}{\frac {\pi ^{2}}{2.3}}+{\frac {1}{1^{4}}}\right)\right.\\&\qquad \left.+\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}}0\left({\frac {\pi ^{6}}{2.3.4.5.6.7}}-{\frac {1}{1^{2}}}{\frac {\pi ^{4}}{2.3.4.5}}+{\frac {1}{1^{4}}}{\frac {\pi ^{2}}{2.3}}-{\frac {1}{1^{6}}}\right)+{\text{etc}}.\right]\\-{\frac {1}{2}}\sin .2x&\left[\varphi '0+\varphi '''0\left({\frac {\pi ^{2}}{2.3}}-{\frac {1}{2^{2}}}\right)+\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}0\left({\frac {\pi ^{4}}{2.3.4.5}}-{\frac {1}{2^{2}}}{\frac {\pi ^{2}}{2.3}}+{\frac {1}{2^{4}}}\right)\right.\\&\qquad \left.+\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}}0\left({\frac {\pi ^{6}}{2.3.4.5.6.7}}-{\frac {1}{2^{2}}}{\frac {\pi ^{4}}{2.3.4.5}}+{\frac {1}{2^{4}}}{\frac {\pi ^{2}}{2.3}}-{\frac {1}{2^{6}}}\right)+{\text{etc}}.\right]\\+{\frac {1}{3}}\sin .3x&\left[\varphi '0+\varphi '''0\left({\frac {\pi ^{2}}{2.3}}-{\frac {1}{3^{2}}}\right)+\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}0\left({\frac {\pi ^{4}}{2.3.4.5}}-{\frac {1}{3^{2}}}{\frac {\pi ^{2}}{2.3}}+{\frac {1}{3^{4}}}\right)\right.\\&\qquad \left.+\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}}0\left({\frac {\pi ^{6}}{2.3.4.5.6.7}}-{\frac {1}{3^{2}}}{\frac {\pi ^{4}}{2.3.4.5}}+{\frac {1}{3^{4}}}{\frac {\pi ^{2}}{2.3}}-{\frac {1}{3^{6}}}\right)+{\text{etc}}.\right]\\-{\frac {1}{4}}\sin .4x&\left[\varphi '0+\varphi '''0\left({\frac {\pi ^{2}}{2.3}}-{\frac {1}{4^{2}}}\right)+\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}0\left({\frac {\pi ^{4}}{2.3.4.5}}-{\frac {1}{4^{2}}}{\frac {\pi ^{2}}{2.3}}+{\frac {1}{4^{4}}}\right)\right.\\&\qquad \left.+\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}}0\left({\frac {\pi ^{6}}{2.3.4.5.6.7}}-{\frac {1}{4^{2}}}{\frac {\pi ^{4}}{2.3.4.5}}+{\frac {1}{4^{4}}}{\frac {\pi ^{2}}{2.3}}-{\frac {1}{4^{6}}}\right)+{\text{etc}}.\right]\\+{\text{etc}}.\qquad &\end{aligned}}$

On peut se servir de la série précédente pour développer en séries de sinus d’arcs multiples une fonction proposée, dans laquelle il n’entre que des puissances impaires de la variable.