Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 4.djvu/649

Le cas qui se présente le premier est celui où l’on aurait $\varphi x=x.$ On trouve alors $\varphi '0=1$ et $\varphi '''(0)=0,$ $\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}(0)=0,$ ainsi du reste : on aura donc la série

${\frac {1}{2}}x=\sin .x-{\frac {1}{2}}\sin .2x+{\frac {1}{3}}\sin .3x-{\frac {1}{4}}\sin .4x+$etc.,

qui a été donnée par Euler.

Si on suppose que la fonction de $x$ proposée soit $x^{3},$ on aura $\varphi '0=0$ et $\varphi '''0=2.3,$ $\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}0=0,$ etc.; ce qui donnera l’équation

${\frac {1}{2}}x^{3}=\left(\pi ^{2}-{\frac {2.3}{2^{2}}}\right){\frac {\sin .2x}{2}}+\left(\pi ^{2}-{\frac {2.3}{3^{2}}}\right){\frac {\sin .3x}{3}}+$etc.

On parviendrait à ce même résultat en partant de l’équation précédente ${\frac {1}{2}}x=\sin .x-{\frac {1}{2}}\sin .2x+{\frac {1}{3}}\sin .3x-$ etc. En effet, en multipliant chacun des membres par $dx$ et intégrant, on aura........ $-{\frac {x^{2}}{4}}=\cos .x-{\frac {1}{2^{2}}}\cos .2x+{\frac {1}{3^{2}}}\cos .3x-$ etc. La valeur de la constante est

$-1+{\frac {1}{2^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}-{\frac {1}{5^{2}}}+$etc.,

série dont on sait la somme est $-{\frac {1}{2}}\pi ^{2}.$ Multipliant par $dx$ les deux membres de l’équation

${\frac {x^{2}}{4}}={\frac {\pi ^{2}}{2.3}}-\cos .x+{\frac {1}{2^{2}}}\cos .2x-{\frac {1}{3^{2}}}\cos .3x+{\frac {1}{4^{2}}}\cos .4x+$etc.

et intégrant, on aura

${\frac {1}{2}}{\frac {x^{3}}{2.3}}={\frac {\pi ^{2}}{2.3}}x-\sin .x+{\frac {1}{2^{2}}}\sin .2x-{\frac {1}{3^{2}}}\sin .3x+$etc.