Si maintenant on met au lieu de
sa valeur tirée de l’équation
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}x=\sin .x-{\frac {1}{2}}\sin .2x+{\frac {1}{3}}\sin .3.x-{\frac {1}{4}}\sin .4x+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/793d5fa847ba449714cefca5bd6dfdfe02b916e4)
etc.
on obtiendra la même équation que ci-dessus.
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}x^{3}=\left(\pi ^{2}-{\frac {2.3}{1^{2}}}\right)\sin .x-\left(\pi ^{2}-{\frac {2.3}{2^{2}}}\right){\frac {\sin .2x}{2}}+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d79512edb5474f302e5e60db2b82df2fe6146f23)
etc.
On parviendrait de la même manière à développer en séries de sinus multiples les puissances,
et en général toute fonction dont le développement ne contiendrait que des puissances impaires de la variable.
L’équation
peut être mise sous une forme plus simple que nous allons faire connaître. On remarque d’abord qu’une partie du coëfficient de
est la série
![{\displaystyle \varphi '0+{\frac {\pi ^{2}}{2.3}}\varphi '''0+{\frac {\pi ^{4}}{2.3.4.5}}\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}0+{\frac {\pi ^{6}}{2.3.4.5.6.7}}\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}}0+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d604366b619bf19c56aba696d833afb06d51610)
etc.
qui représente la quantité
Car on a en général
![{\displaystyle \varphi x=\varphi 0+x\varphi '0+{\frac {x^{2}}{2}}\varphi ''0+{\frac {x^{3}}{2.3}}\varphi '''0+{\frac {x^{4}}{2.3.4}}\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}0+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dd19abe56dd9c48775ddfb0ccb0ec1868d6986c)
etc.
Or la fonction
ne contenant par hypothèse que des puissances impaires, on doit avoir
ainsi de suite. Donc
etc. Une seconde partie du coëfficient de
se trouve en multipliant par
la série
dont la valeur est
On détermine de cette manière les différentes parties du coëfficient de
et celles qui com-