correspondantes à ces intégrales ont toujours des valeurs fixes et déterminées.
En substituant dans l’équation
les valeurs trouvées pour les coëfficients, on aura l’équation suivante, qui offre une propriété remarquable des lignes trigonométriques, et donne le développement d’une fonction arbitraire en séries convergentes de sinus et de cosinus d’arcs multiples.
![{\displaystyle (\mathrm {P} )\ \ \pi \varphi u={\frac {1}{2}}\mathrm {S} \varphi udu+\left\{{\begin{aligned}\sin .u\mathrm {S} (\varphi u\sin .udu)&+\sin .2u\mathrm {S} (\varphi u\sin .2udu)\\&+\sin .3u\mathrm {S} (\varphi u\sin .3udu)+\ldots .\\\\\cos .u\mathrm {S} (\varphi u\cos .udu)&+\cos ..2u\mathrm {S} (\varphi u\cos .2udu)\\&+\cos .3u\mathrm {S} (\varphi u\cos .3udu)+\ldots .\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6019001f10f95e43039d9df8138c4c418deabf68)
ou mettant
au lieu de
et laissant
sous le signe ![{\displaystyle \mathrm {S} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9044c1a27dd84b9c1aa9cc2c1b6cd36f3f956ffb)
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\mathrm {II} )\ \ \pi \varphi &=\mathrm {S} du\varphi u\left[{\frac {1}{2}}+\cos .(u-x)+\cos .2(u-x)+\cos .3(u-x)+\ldots \right]\\&={\frac {1}{2}}\mathrm {S} du\varphi u\sum \cos .i(u-x).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31efad7e26de7c436e5627b9800f55a9e33ce9e7)
Le signe
indique que l’on doit donner au nombre entier
toutes les valeurs positives ou négatives ; toutes les intégrales désignées par le signe
doivent être prises depuis
jusqu’à ![{\displaystyle u=2\pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8a88384f4defeae83758f30e77ff1252c3d49c4)
32. Si maintenant on met à la place de
et que les intégrations désignées par
aient lieu depuis
jusqu’à
on aura déterminé tous les coëfficients qui entrent dans l’équation
En remplaçant la fonction
par