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la température fixe du point où le foyer est placé étant désignée par $\mathrm {A} ,$ et les abscisses $u$ étant comptées depuis le point opposé au foyer. On appliquera maintenant l’équation générale

${\begin{aligned}\pi \varphi u={\frac {1}{2}}\mathrm {S} \varphi udu&+\sin .u\mathrm {S} (\varphi u\sin .udu)+\sin .2u\mathrm {S} (\varphi u\sin .2udu)+{\text{etc}}.\\&+\cos .u\mathrm {S} (\varphi u\cos .udu)+\cos .2u\mathrm {S} (\varphi u\cos .2udu)+{\text{etc}}.\end{aligned}}$

Et faisant les intégrations indiquées, on trouvera

$\pi \left(e^{u}+e^{-u}\right)=\left(e^{\pi }-e^{-\pi }\right)-{\frac {2\cos .u}{1^{2}+1}}\left(e^{\pi }-e^{-\pi }\right)+{\frac {2\cos .2u}{2^{2}+1}}\left(e^{\pi }-e^{-\pi }\right)-{\text{etc}}.$

ou

$\pi \left({\frac {e^{u}+e^{-u}}{e^{\pi }-e^{-\pi }}}\right)=1-{\frac {2\cos .u}{1^{2}+1}}+{\frac {2\cos .2u}{2^{2}+1}}-{\frac {2\cos .3u}{3^{2}+1}}+{\text{etc}}.$

Cette équation donne le développement de la fonction $e^{u}+e^{-u}$ en série formée de cosinus d’arcs multiples. On a trouvé dans les articles précédents le développement de la fonction $e^{u}-e^{-u}$ en séries de sinus d’ares multiples ; les séries de ce genre, qui servent à développer les fonctions les plus élémentaires de l’analyse, doivent toujours être remarquées.

Si on substitue, dans l’équation qui donne le développement de $\varphi x,$ les coëfficients qui viennent d’être déterminés, on aura

$\left(e^{-\pi +x}+e^{\pi -x}\right)\pi =\left(e^{\pi }-e^{-\pi }\right)+{\frac {2\cos .x}{1^{2}+1}}\left(e^{\pi }-e^{-\pi }\right)+{\frac {2\cos .2x}{2^{2}+1}}\left(e^{\pi }-e^{-\pi }\right)+{\text{etc}}.$