retenant cette dernière température, retourne au premier corps dont la masse est
et la température
On trouvera donc pour sa température, après le second contact,
![{\displaystyle {\frac {\alpha (m-dm)+{\frac {\beta m+\alpha dm}{m+dm}}}{m}},\qquad {\text{ou}}\qquad {\frac {\alpha m+\beta dm}{m+dm}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/871fbd021ddec8d2026fcb4616094e654b23e952)
Les températures variables
et
sont donc devenues, après l’instant
et
ou développant les puissances de
en retenant la première seulement,
![{\displaystyle \alpha -(\alpha -\beta ){\frac {dm}{m}}\qquad {\text{et}}\qquad \beta +(\alpha -\beta ){\frac {dm}{m}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/608f23d220c1f9bfab2288d54116fa39ec65cce5)
On a donc
![{\displaystyle d\alpha =-(\alpha -\beta ){\frac {dm}{m}}\qquad {\text{et}}\qquad d\beta =(\alpha -\beta ){\frac {dm}{m}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79a7a4bd14ed0800c6e8792182074ff5aecbe710)
Ainsi la masse qui avait la température initiale
a reçu dans un instant une quantité de chaleur égale à
ou
laquelle a été perdue dans le même temps par la première masse. On voit par-là que la quantité de chaleur qui passe en un instant du corps plus échauffé dans celui qui f’est moins est, toutes choses d’ailleurs égales, proportionnelle à la différence actuelle des températures de ces deux corps. Le temps étant divisé en intervalles égaux, la quantité infiniment petite
pourra être remplacée par
étant le nombre des unités de masse dont la somme contient
autant de fois que l’unité de temps contient
en sorte que l’on a
On obtient ainsi les équations