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$d\alpha =-(\alpha -\beta ){\frac {\mathrm {K} }{m}}dt,\qquad {\text{et}}\qquad d\beta =(\alpha -\beta ){\frac {\mathrm {K} }{m}}dt,$

Dans lesquelles $\mathrm {K}$ serait égal à $\varphi (\alpha ,\beta ).$ Dans ce cas, la courbe qui détermine à chaque instant la valeur des ordonnées $\alpha$ et $\beta$ n’est point une logarithmique, mais elle a encore pour asymptote la perpendiculaire élevée sur le milieu de la droite $ab.$ Il est facile de connaître la nature de la dernière partie de cette courbe, ou de son cours infini, qui s’approche continuellement de l’asymptote ; cette branche infinie de la courbe représente la loi que suivent les températures finales $\alpha$ et $\beta ,$ dans l’état extrême pendant lequel elles tendent à devenir égales. Pour cela, on désignera par une nouvelle indéterminée $y$ la différence entre $\alpha$ et la dernière température ${\frac {1}{2}}(a+b),$ ou $c.$ Une autre indéterminée $z$ désignera la différence $c-\beta .$ On substituera, au lieu de $\alpha$ et de $\beta ,$ leurs valeurs $c-y$ et $c-z;$ et comme il ne s’agit que de trouver les valeurs de $y$ et de $z,$ lorsqu’on les suppose très-petites, on ne doit retenir dans les résultats des substitutions, que la première puissance de $y$ et de $z.$ On trouve, en substituant les valeurs de $\alpha$ et $\beta ,$ les deux équations

${\begin{aligned}-dy&=-(z-y){\frac {1}{m}}\varphi (c-y,c-z)dt,\\-dz&=(z-y){\frac {1}{m}}\varphi (c-y,c-z)dt.\end{aligned}}$

En développant les quantités qui sont sous le signe $\varphi ,$ et rejetant les puissances supérieures de $y$ et de $z,$ on trouvera les équations

$dy=(z-y){\frac {1}{m}}\varphi (c,c)dt\qquad {\text{et}}\qquad dz=-(z-y){\frac {1}{m}}\varphi (c,c)dt,$