Les valeurs
sont en nombre
et égales aux
racines de l’équation algébrique du
e degré en
qui a, comme on le verra plus bas, toutes ses racines réelles. Les coëfficients de la première équation
sont arbitraires. Quant aux coëfficients des lignes inférieures, ils sont déterminés par un nombre
de systèmes d’équations semblables aux équations précédentes. Il s’agit maintenant de former et de résoudre ces équations.
Écrivant la lettre
au lieu de
on aura les équations suivantes :
![{\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}&=a_{0}=a_{1},\\a_{1}&=a_{1},\\a_{2}&=a_{1}(q+2)-a_{0},\\a_{3}&=a_{2}(q+2)-a_{1},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\a_{n+1}&=a_{n}(q+2)-a_{n-1}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eb7a2f3c2483d783c81dfd7ebbefe6caa8bdb13)
On voit que ces quantités appartiennent à une série récurrente dont l’échelle de relation a les deux termes
et
on pourra donc exprimer le terme général
par l’équation
![{\displaystyle a_{m}=\mathrm {A} \sin .mu+\mathrm {B} \sin .(m-1)u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07261ec4511498878430806f01b4071a8fdf99cd)
en déterminant convenablement les quantités
et
On trouvera d’abord
et
en supposant
égal à
et ensuite égal à
ce qui donne
et
et par conséquent
![{\displaystyle a_{m}={\frac {a_{1}}{\sin .u}}\sin .mu-{\frac {a_{1}}{\sin .u}}\sin .(m-1)u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4db530c00238109e8cd0dabb73fad61a1dc6cfbc)