Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 4.djvu/731

et disparaissent d’elles-mêmes, comme multipliant des sinus nuls.

Pour déterminer les quantités $\mathrm {A_{1},B_{1},A_{2},B_{2}} ,\ldots$ qui entrent dans les équations précédentes, il faut considérer l’état initial qui est connu. On supposera $t=0,$ et l’on écrira, au lieu de $\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\ldots$ les quantités données $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$ qui sont les valeurs initiales des températures. On aura donc, pour déterminer $\mathrm {A_{1},B_{1},A_{2},B_{2},A_{3},B_{3}} ,\ldots$ les équations suivantes :

${\begin{aligned}(\mathrm {P} )\ \ a_{1}&=\mathrm {A} _{1}\sin .0.0{\frac {2\pi }{n}}+\mathrm {A} _{2}\sin .0.1{\frac {2\pi }{n}}+\mathrm {A} _{3}\sin .0.2{\frac {2\pi }{n}}+{\text{etc}}.\\&+\mathrm {B} _{1}\cos .0.0{\frac {2\pi }{n}}+\mathrm {B} _{2}\cos .0.1{\frac {2\pi }{n}}+\mathrm {B} _{3}\cos .0.2{\frac {2\pi }{n}}+{\text{etc}}.\\a_{2}&=\mathrm {A} _{1}\sin .1.0{\frac {2\pi }{n}}+\mathrm {A} _{2}\sin .1.1{\frac {2\pi }{n}}+\mathrm {A} _{3}\sin .1.2{\frac {2\pi }{n}}+{\text{etc}}.\\&+\mathrm {B} _{1}\cos .1.0{\frac {2\pi }{n}}+\mathrm {B} _{2}\cos .1.1{\frac {2\pi }{n}}+\mathrm {B} _{3}\cos .1.2{\frac {2\pi }{n}}+{\text{etc}}.\\a_{3}&=\mathrm {A} _{1}\sin .2.0{\frac {2\pi }{n}}+\mathrm {A} _{2}\sin .2.1{\frac {2\pi }{n}}+\mathrm {A} _{3}\sin .2.2{\frac {2\pi }{n}}+{\text{etc}}.\\&+\mathrm {B} _{1}\cos .2.0{\frac {2\pi }{n}}+\mathrm {B} _{2}\cos .2.1{\frac {2\pi }{n}}+\mathrm {B} _{3}\cos .2.2{\frac {2\pi }{n}}+{\text{etc}}.\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

${\begin{aligned}a_{n}&=\mathrm {A} _{1}\sin .(n-1).0{\frac {2\pi }{n}}+\mathrm {A} _{2}\sin .(n-1).1{\frac {2\pi }{n}}+\mathrm {A} _{3}\sin .(n-1).2{\frac {2\pi }{n}}+{\text{etc}}.\\&+\mathrm {B} _{1}\cos .(n-1).0{\frac {2\pi }{n}}+\mathrm {B} _{2}\cos .(n-1).1{\frac {2\pi }{n}}+\mathrm {B} _{3}\cos .(n-1).2{\frac {2\pi }{n}}+{\text{etc}}.\end{aligned}}$

Dans ces équations, dont le nombre est, et qui sont du premier degré, les quantités inconnues sont $\mathrm {A_{1},B_{1},A_{2},B_{2},A_{3},B_{3}} ,\ldots$ il s’agit d’effectuer les éliminations, et de trouver les valeurs de ces indéterminées. On remarquera