![{\displaystyle \sin .0u,\quad \sin .1u,\quad \sin .2u,\quad \sin .3u,\quad \sin .4u,\ldots \sin .(n-1)u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/356a5ecd7311e6539de52f6cb701751ceddae568)
et
![{\displaystyle \sin .0v,\quad \sin .1v,\quad \sin .2v,\quad \sin .3v,\quad \sin .4v,\ldots \sin .(n-1)v,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91d6d3872632d9cbf720a249fe0e2ae6e4882c0a)
la somme des produits
![{\displaystyle \sin .0u\sin .0v+\sin .1u\sin .1v+\sin .2u\sin .1v+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97cc557cd876950022b74d500a5259d22c1c2059)
![{\displaystyle \sin .(n-1)u\sin .(n-1)v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f766779bb7386f768a57da8cc8aec445f87ed6f4)
sera nulle, excepté lorsque les arcs
et
seront les mêmes, chacun de ces arcs étant d’ailleurs supposé un multiple d’une partie de la circonférence égale à ![{\displaystyle {\frac {2\pi }{n}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd108f534dacd2a0edcfe51051b412f19ef78eb0)
2o Que si l’on multiplie terme à terme les deux séries
![{\displaystyle \cos .0u,\quad \cos .1u,\quad \cos .2u,\quad \cos .3u,\quad \cos .4u,\ldots \cos .(n-1)u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb37be3bbe4fb550aff283a07439f0f83cdf74db)
et
![{\displaystyle \cos .0v,\quad \cos .1v,\quad \cos .2v,\quad \cos .3v,\quad \cos .4v,\ldots \cos .(n-1)v,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac449073e5923361c76e80f61f18f2caef678e0d)
la somme des produits sera nulle, excepté le cas où
est égal à ![{\displaystyle v;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/732399247c15284b9bd7c21f235e2d7a6766c190)
3o Que si l’on multiplie terme à terme les deux suites,
![{\displaystyle \sin .0u,\quad \sin .1u,\quad \sin .2u,\quad \sin .3u,\quad \sin .4u,\ldots \sin .(n-1)u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/356a5ecd7311e6539de52f6cb701751ceddae568)
![{\displaystyle \cos .0v,\quad \cos .1v,\quad \cos .2v,\quad \cos .3v,\quad \cos .4v,\ldots \cos .(n-1)v,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac449073e5923361c76e80f61f18f2caef678e0d)
la somme des produits sera toujours nulle. On désignera par
l’arc
par
l’arc
et par
l’arc
et
étant des nombres entiers positifs, moindres que
Le produit de deux termes correspondants des deux premières séries sera représenté par
![{\displaystyle \sin .j\mu q\sin .j\nu q,\quad {\text{ou}}\quad {\frac {1}{2}}\cos .j(\mu -\nu )q-{\frac {1}{2}}\cos .j(\mu +\nu )q.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08c7c48b100c49da664025d08cf614244b994ccf)