la lettre
désignant un terme quelconque de la suite
Or il est facile de prouver que si l’on donne à
ses
valeurs successives, depuis
juspu’à
la somme
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\cos .0(\mu -\nu )q+{\frac {1}{2}}\cos .1(\mu -\nu )q+{\frac {1}{2}}\cos .2(\mu -\nu )q+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73bd3ee0fc8dc668233a85629853dcd0f4717a3c)
![{\displaystyle +{\frac {1}{2}}\cos .(n-1)(\mu -\nu )q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ae301c07d61a7230226b232ef61b628c3750a66)
aura une valeur nulle ; et qu’il en sera de même de la suite
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\cos .0(\mu +\nu )q+{\frac {1}{2}}\cos .1(\mu +\nu )q+{\frac {1}{2}}\cos .2(\mu +\nu )q+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa27240c1ba8d334e5267da5a3bf40831f1b1f72)
![{\displaystyle +{\frac {1}{2}}\cos .(n-1)(\mu +\nu )q.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0a98a174408743a469847bba0969d433f2c1e2b)
En effet, en représentant l’arc
par
qui est par conséquent un multiple de
on aura la suite récurrente.
![{\displaystyle \cos .0\alpha ,\ \ \cos .1\alpha ,\ \ \cos .2\alpha ,\ \ \cos .3\alpha ,\ldots \cos .(n-2)\alpha ,\ \ \cos .(n-1)\alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f23f39ef6897a2f190a5618796cfd10d94deba71)
dont la somme est nulle. Pour le faire voir, on représentera cette somme par
et les deux termes de l’échelle de relation étant
et
on multipliera successivement les deux membres de l’équation
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {S} =&\cos .0\alpha +\cos .1\alpha +\cos .2\alpha +\cos .3\alpha +\ldots \\&+\cos .(n-3)\alpha +\cos .(n-2)\alpha +\cos .(n-1)\alpha \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfcf37912f76112529626d4b60a49af6eae5e3dd)
par
et par
puis, ajoutant les trois équations, on remarquera que les termes intermédiaires se détruisent d’eux-mêmes d’après la nature de la série récurrente, ainsi qu’on le voit dans l’équation suivante :