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$\mathbf {S} =\cos .0\alpha +\cos .1\alpha +\cos .2\alpha +\cos .3\alpha +\ldots +\cos .(n-1)\alpha$

$-2\mathbf {S} \cos .\alpha -2\cos .\alpha \cos .0\alpha -2\cos .\alpha \cos .1\alpha \ldots$

$-2\cos .\alpha \cos .(n-2)\alpha -2\cos .\alpha \cos .(n-1)\alpha$

$+\mathbf {S} +\cos .0\alpha \ldots +\cos .(n-3)\alpha +\cos .(n-2)\alpha +\cos .(n-1)\alpha .$

Si l’on remarque maintenant que $n\alpha$ étant un multiple de la circonférence entière, les quantités

$\cos .(n-1).\alpha ,\qquad \cos .(n-2).\alpha ,\qquad \cos .(n-3).\alpha ,\quad {\text{etc}}.$

sont respectivement les mêmes que celles que l’on désignerait par $\cos .(-\alpha ),$ $cos(-2\alpha ),\,\cos .(-3\alpha ),\ldots$ on en conclura les résultats suivants :

$\cos .o\alpha -2\cos .\alpha \cos .(n-1).\alpha +\cos .(n-2)\alpha =0$

et

$\cos .1\alpha -2\cos .\alpha \cos .0\alpha +\cos .(n-1)\alpha =0.$

On aura donc en général $2\mathbf {S} -2\mathbf {S} \cos .\alpha =0\,:$ ainsi la somme cherchée $\mathbf {S}$ doit être nulle. On a représenté $(\mu -\nu )q$ par $\alpha ,$ et l’on trouve que la somme des $n$ termes dus au développement de ${\frac {1}{2}}\cos .j(\mu -\nu )q$ est nulle ; il en sera de même de la somme des termes dus au développement de ${\frac {1}{2}}\cos .j(\mu +\nu )q.$ donc la somme des produits terme à terme des deux premières séries est nulle. Il faut excepter le cas où l’arc représenté par $\alpha$ serait nul, car l’équation $2\mathbf {S} -2\mathbf {S} \cos .\alpha =0\,:$ est satisfaite par celle-ci : $\cos .\alpha =1.$ Ce cas est précisément celui où l’on a $\mu =\nu .$ c’est-à-dire où les arcs $\mu$ et $\nu$ sont les mêmes ; alors le terme ${\frac {1}{2}}\cos .j(\mu +\nu )q$ donne encore un développement dont la somme est nulle. Mais le terme ${\frac {1}{2}}\cos .j(\mu -\nu )q$