Soit
on aura cette condition,
![{\displaystyle m=-\mathrm {K} n^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3919ffc9f2615d1684359c54495024cb8208c86)
ainsi la valeur particulière de
est
![{\displaystyle e^{-\mathrm {K} n^{2}t}\left[\mathrm {A} \cos .nx+\mathrm {B} \sin .nx\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bc0ef605c78ab717a9977fc233258ca42ef06ed)
On peut donc prendre pour valeur particulière de ![{\displaystyle z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47989a9b66a4ea8a0ec19e8159749fce8a9a8ca8)
![{\displaystyle z={\frac {e^{-\mathrm {K} n^{2}t}}{x}}\left[\mathrm {A} \cos .nx+\mathrm {B} \sin .nx\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d676d2e10daa906a7c9528308ac3f8264f48efb)
étant un nombre positif quelconque, et
et
des constantes. On remarquera d’abord que la constante
doit être nulle ; car la valeur de
qui exprime la température du centre lorsqu’on fait
ne peut pas être infinie : donc le terme
doit être omis.
De plus le nombre
ne peut être pris arbitrairement. En effet, si dans l’équation déterminée
on substitue la valeur de
on trouvera
![{\displaystyle nx\cos .nx+(hx-1)\sin .nx=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f6f3aa561e530771ba21fc4aaedc94c65b7663)
ou
![{\displaystyle \qquad \qquad \qquad {\frac {n\mathrm {X} }{\operatorname {tang} .n\mathrm {X} }}=1-h\mathrm {X} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82e1537480324c1df479386d4b94a7a87f9b2678)
car l’équation doit avoir lieu à la surface. Soit
le nombre
et
on aura
Il faut donc trouver un arc
qui, divisé par sa tangente, donne un quotient connu
et l’on aura ensuite
Il est visible qu’il y a une infinité de tels arcs qui ont avec leur tangente un rapport