Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 4.djvu/760

On connaît maintenant une forme particulière que l’on peut donner à la fonction $z,$ et qui satisfait à toutes les conditions de la question. Cette solution est représentée par l’équation

$z={\frac {\mathrm {A} e^{-\mathrm {K} n^{2}t}\sin .(nx)}{x}},$

ou

$z={\frac {ae^{-\mathrm {K} n^{2}t}\sin .(nx)}{nx}}\,:$

le coëfficient $a$ est un nombre quelconque, et le nombre $n$ est tel que l’on a ${\frac {n\mathrm {X} }{\operatorname {tang} .n\mathrm {X} }}=1-h\mathrm {X} .$ Il en résulte que, si les températures initiales des différentes couches étaient proportionnelles au quotient ${\frac {sin.(nx)}{nx}},$ elles diminueraient toutes nx à la fois en conservant entre elles, pendant toute la durée du refroidissement, les rapports qui avaient été établis, et la température de chaque point s’abaisserait comme l’ordonnée d’une logarithmique. Supposons donc que l’arc e étant divisé en parties égales, et pris pour abcisse, on élève en chaque point une ordonnée égale au rapport du sinus à l’arc ; le système de toutes ces ordonnées sera celui des températures initiales qu’il faut attribuer aux différentes couches, depuis le rayon zéro, jusqu’au rayon total $\mathrm {X} .$ L’arc $\varepsilon$ dont la longueur représente le rayon $\mathrm {X} ,$ ne doit pas être pris arbitrairement, il est nécessaire que cet arc ait avec sa tangente un rapport donné. Comme il y a une infinité d’arcs qui satisfont à cette condition, on formerait ainsi une infinité de systèmes de températures initiales, qui peuvent subsister d’eux-mêmes dans la sphère sans que les rapports des températures changent pendant la durée du refroidissement.