Il reste maintenant à prouver qu’un état initial quelconque peut toujours être décomposé en un certain nombre ou en une infinité d’états partiels, dont chacun représente un de ces systèmes de températures que nous avons considérés précédemment, et dans lesquels l’ordonnée varie avec la distance 
proportionnellement au quotient du sinus par l’arc ; car le mouvement général de la chaleur dans l’intérieur de la sphère sera alors décomposé en autant de mouvements particuliers, dont chacun s’accomplira librement comme s’il était seul.
Désignant par 
etc., les quantités qui satisfont à l’équation 
et que l’on suppose rangées par ordre en commençant par la plus petite ; on formera l’équation générale
Si l’on fait 
on aura, pour exprimer l’état initial des températures,
La question consiste à déterminer, quel que soit l’état initial, les coëfficients 
etc. Supposons donc que l’on connaisse les valeurs de 
depuis 
jusqu’à 
et représentons ce système de valeurs par 
on aura,
