Pour déterminer le coëfficient
on multipliera les deux membres de l’équation par
et l’on intégrera depuis
jusqu’à
L’intégrale
![{\displaystyle \int \sin .(mx)\sin .(nx)dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4554fab764cfafd568fd705fa9897b97576f9792)
prise entre ces limites, est
![{\displaystyle {\frac {1}{m^{2}-n^{2}}}\left[-m\sin .(n\mathrm {X} )\cos .(m\mathrm {X} )+n\sin .(m\mathrm {X} )\cos .(n\mathrm {X} )\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b65761c9dc4bc209c0348c80a87d54c9bd890c8)
Si
et
sont des nombres choisis parmi les racines
etc., qui satisfont à l’équation
![{\displaystyle {\frac {n\mathrm {X} }{\operatorname {tang} .(n\mathrm {X} )}}=1-h\mathrm {X} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c32b914e5206533b557ab4b2a49fe4ae4737d84c)
on aura,
![{\displaystyle {\frac {m\mathrm {X} }{\operatorname {tang} .(m\mathrm {X} )}}={\frac {nx}{\operatorname {tang} .n\mathrm {X} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca5529f7d4cfd867a658975529926aaa948aba5d)
ou
![{\displaystyle m\cos .m\mathrm {X} \sin .n\mathrm {X} -n\cos .n\mathrm {X} \sin .m\mathrm {X} =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05e7e7898ed0426427ffb996193df146f8ac95d8)
On voit par là que la valeur totale de l’intégrale est nulle. Mais il y a un seul cas où cette intégrale ne s’évanouit pas, c’est lorsque
elle devient alors
et par l’application des règles connues elle se réduit à
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\mathrm {X} -{\frac {1}{4n}}\sin .2n\mathrm {X} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4d64b36c794099b12a5875db4959adf1f5c4ae6)
Il résulte de là que, pour avoir la valeur du coëfficient
dans l’équation
il faut écrire
![{\displaystyle 2\mathbf {S} \left[x\sin .(n_{1}x)dx\operatorname {F} x\right]=a_{1}\left[\mathrm {X} -{\frac {1}{2n_{1}}}\sin .2n_{1}\mathrm {X} \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1459b2514292fcc5927219a43a1ca661159426e)
Le signe
indiquant que l’on prend l’intégrale depuis ![{\displaystyle x=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d54be06efe9f69b9bfb720190b5f29c76944a45b)