a l’équation déterminée,
etc. désignent les valeurs de
qui correspondent aux différentes racines de l’équation en
et
etc. sont des coëfficients arbitraires, qui ne peuvent être déterminés que par l’état initial du solide.
Il faut maintenant examiner la nature de l’équation déterminée qui donne les valeurs de
et prouver que toutes les racines de cette équation sont réelles ; recherche qui exige un examen attentif.
Dans la série
qui exprime la valeur que reçoit
lorsque
on remplacera
par la quantité
et désignant par
ou
cette fonction de
on aura
![{\displaystyle y=f\theta =1-\theta +{\frac {\theta ^{2}}{2^{2}}}-{\frac {\theta ^{3}}{2^{2}.3^{2}}}+{\frac {\theta ^{4}}{2^{2}.3^{2}.4^{2}}}-{\text{etc}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a0a8341fba4134c950573ba961c8c8694660137)
Il est facile de voir que l’équation déterminée devient
![{\displaystyle {\frac {h\mathrm {R} }{2}}={\frac {\theta -2{\frac {\theta ^{2}}{2^{2}}}+3{\frac {\theta ^{3}}{2^{2}.3^{2}}}-4{\frac {\theta ^{4}}{2^{2}.3^{2}.4^{2}}}+5{\frac {\theta ^{5}}{2^{2}.3^{2}.4^{2}.5^{2}}}-\ldots }{1-\theta +{\frac {\theta ^{2}}{2^{2}}}-{\frac {\theta ^{3}}{2^{2}.3^{2}}}+{\frac {\theta ^{4}}{2^{2}.3^{2}.4^{2}}}-{\frac {\theta ^{5}}{2^{2}.3^{2}.4^{2}.5^{2}}}+\ldots }}=-\theta {\frac {f'\theta }{f\theta }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95d4619787b264c1283bfe02f07b79ddc21805c6)
désignant
Cette dernière équation est d’un degré infiniment élevé. Chacune des valeurs de
fournira une valeur pour
au moyen de l’équation
et l’on obtiendra les quantités
etc., qui entrent en nombre infini dans la solution cherchée.
La question est donc de démontrer que l’équation
![{\displaystyle {\frac {h\mathrm {R} }{2}}+\theta {\frac {f'\theta }{f\theta }}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32d65e001cb6874d57a3a24b2ffbe960ece621c8)