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doit avoir toutes ses racines réelles. Nous établirons en effet que l’équation $f\theta =0$ a toutes ses racines réelles, qu’il en est de même par conséquent de l’équation $f'\theta =0,$ et qu’il s’ensuit que l’équation $\mathrm {A} =\theta {\frac {f'\theta }{f\theta }}$ a aussi toutes ses racines réelles, $\mathrm {A}$ étant un nombre quelconque.

L’équation $y=1-\theta +{\frac {\theta ^{2}}{2^{2}}}-{\frac {\theta ^{3}}{2^{2}.3^{2}}}+{\frac {\theta ^{4}}{2^{2}.3^{2}.4^{2}}}-{\text{etc}}.$ étant différenciée deux fois, donne

$y+{\frac {dy}{d\theta }}+\theta {\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}=0\,;$

ainsi la fonction de $\theta$ dont il s’agit, satisfait à cette équation différentielle. On écrira, comme il suit, l’équation précédente, et toutes celles qu’on en déduit par la différentiation :

${\begin{alignedat}{4}&y&&+\ \ {\frac {dy}{d\theta }}&&+\theta {\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}&&=0,\\&{\frac {dy}{d\theta }}&&+2{\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}&&+\theta {\frac {d^{3}y}{d\theta ^{3}}}&&=0,\\&{\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}&&+3{\frac {d^{3}y}{d\theta ^{3}}}&&+\theta {\frac {d^{4}y}{d\theta ^{4}}}&&=0,\\&{\text{etc}}.\end{alignedat}}$

et en général

${\frac {d^{i}y}{d\theta ^{i}}}+(i+1){\frac {d^{(i+1)}y}{d\theta ^{(i+1)}}}+\theta {\frac {d^{(i+2)}y}{d\theta ^{(i+2)}}}=0.$

Or, si l’on écrit l’équation algébrique en $x$

$\mathrm {X} =0,$

ainsi que toutes celles qui en dérivent par la différentiation :

${\frac {d\mathrm {X} }{dx}}=0,\quad {\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}}=0,\quad {\frac {d^{3}\mathrm {X} }{dx^{3}}}=0,\quad {\frac {d^{4}\mathrm {X} }{dx^{4}}}=0,$ etc.