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et que toute racine d’une quelconque de ces équations, étant substituée dans celle qui la précède et dans celle qui la suit, donne deux résultats de signe opposé ; il est certain que la proposée $\mathrm {X} =0$ a toutes ses racines réelles, et que par conséquent il en est de même de toutes ces équations subordonnées

${\frac {d\mathrm {X} }{dx}}=0,\quad {\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}}=0,\quad {\frac {d^{3}\mathrm {X} }{dx^{3}}}=0,$ etc.

Ces propositions sont fondées sur la théorie des équations algebriques, et ont été demontrées depuis long-temps^[1] il suffit donc de prouver que les équations

$y=0,\quad {\frac {dy}{d\theta }}=0,\quad {\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}=0,\quad {\frac {d^{3}y}{d\theta ^{3}}}=0,$etc.,

remplissent la condition précédente. Or, cela suit de l’équation générale

${\frac {d^{i}y}{d\theta ^{i}}}+(i+1){\frac {d^{(i+1)}y}{d\theta ^{(i+1)}}}+\theta {\frac {d^{(i+2)}y}{d\theta ^{(i+2)}}}=0\,;$

car si on donne à $\theta$ une valeur positive, qui rende nul le différentiel

${\frac {d^{(i+1)}y}{d\theta ^{(i+1)}}},$

les deux termes

${\frac {d^{i}y}{d\theta ^{i}}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {d^{(i+2)}y}{d\theta ^{(i+2)}}},$

recevront des valeurs de signes opposés. À l’égard des valeurs

1. On en est redevable à M. de Gua, de l’Académie des sciences de Paris.