Or les coëfficients des puissances de la variable, dans le développement de la fonction, dépendent des valeurs que reçoivent les rapports différentiels, lorsqu’on fait la variable nulle. Donc l’équation
![{\displaystyle y^{(i+1)}=-{\frac {y^{(i)}}{i+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24739c0cc60b2542480bdfd485ab9eba9e5d3a9e)
servira à déterminer tous les coëfficients, en supposant le premier connu. Si on prend
pour ce premier coëfficient, on aura la série
![{\displaystyle y=f\theta =1-\theta +{\frac {\theta ^{2}}{2^{2}}}-{\frac {\theta ^{3}}{2^{2}.3^{2}}}+{\frac {\theta ^{4}}{2^{2}.3^{2}.4^{2}}}-{\frac {\theta ^{5}}{2^{2}.3^{2}.4^{2}.5^{2}}}+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19d2c03b850d76a02729bee544353855612335ff)
etc
Si maintenant dans l’équation proposée
![{\displaystyle gu+{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}.{\frac {du}{dx}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0ad0f47d255d26e9978c88d627defd2e7c147bb)
on fait
![{\displaystyle {\frac {gx^{2}}{2^{2}}}=\theta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0f08ac4de51245466145e0c85a2d3126bed5b05)
et que l’on cherche la nouvelle équation en
et
en regardant
comme une fonction de
on trouvera
![{\displaystyle u+{\frac {du}{d\theta }}+\theta {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d24bc951177f593d0b2b6b20af064f5db813f16d)
d’où l’on conclut
![{\displaystyle u=1-\theta +{\frac {\theta ^{2}}{2^{2}}}-{\frac {\theta ^{3}}{2^{2}.3^{2}}}+{\frac {\theta ^{4}}{2^{2}.3^{2}.4^{2}}}-}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0381bae5683aae70b76cc2a9432ecdcc41091091)
etc.,
ou
![{\displaystyle u=1-{\frac {gx^{2}}{2^{2}}}+{\frac {g^{2}x^{4}}{2^{2}.4^{2}}}-{\frac {g^{3}x^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+{\text{etc}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd9c6895258441dd25ef01b2aeedac8581242d3)
52. Il est facile d’exprimer la somme de cette série. Pour obtenir ce résultat, on développera comme il suit la fonction
en cosinus d’arcs multiples. On aura d’abord.