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le premier coëfficient $\mathrm {A}$ est égal à

$2\left[1-{\frac {\alpha ^{2}}{2^{2}}}+{\frac {\alpha ^{4}}{2^{2}.4^{2}-}}-{\frac {\alpha ^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+{\text{etc}}.\right].$

Si l’on compare maintenant l’équation que nous avons donnée précédemment,

${\frac {1}{2}}\pi \varphi x={\frac {1}{2}}\int \varphi xdx+\cos .x\int \varphi x\cos .xdx+{\text{etc}}.,$

à celle-ci,

$2\cos .(\alpha \sin .x)=\mathrm {A} +\mathrm {B} \cos .2x+\mathrm {C} \cos .4x+{\text{etc}}.,$

on trouvera les valeurs de $\mathrm {A,B,C} ,$ etc., exprimées par intégrales définies. Il suffit de trouver celle du premier coëfficient $\mathrm {A} .$ On aura donc

${\frac {1}{2}}\mathrm {A} ={\frac {1}{\pi }}\int \cos .(\alpha \sin .x)dx,$

l’intégrale devant être prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=\pi .$ Donc la valeur de la série

$1-{\frac {\alpha ^{2}}{2^{2}}}+{\frac {\alpha ^{4}}{2^{2}.4^{2}-}}-{\frac {\alpha ^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+{\text{etc}}.$

est celle de l’intégrale définie

${\frac {1}{\pi }}\int \cos .(\alpha \sin .x)dx,$

prise depuis $x=0,$ jusqu’à $x=\pi .$ On trouverait de la même manière, par la comparaison des deux équations, les valeurs des coëfficients $\mathrm {B,C} ,$ etc. J’ai indiqué ces résultats, parce qu’ils sont utiles dans d’autres recherches. Il suit de là que