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au lieu de $\cos .(t\sin .u),$ une fonction quelconque $\varphi$ de $(t\sin .u).$

Supposons donc que l’on ait une fonction $\varphi z$ qui soit ainsi développée,

$\varphi z=\varphi +{\frac {z}{1}}\varphi '+{\frac {z^{2}}{1.2}}\varphi ''+{\frac {z^{3}}{1.2.3}}\varphi '''+{\frac {z^{4}}{1.2.3.4}}\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+$etc.,

on aura,

$\varphi (t\sin .u)=\varphi +{\frac {t}{1}}\sin .u.\varphi '+{\frac {t^{2}}{1.2}}\sin ^{2}u.\varphi ''+{\frac {t^{3}}{1.2.3}}\sin ^{3}u.\varphi '''+\mathrm {etc.} ,$

et

$(e)\quad {\frac {1}{\pi }}\int du\,\varphi (t\sin .u)=\varphi +{\frac {t\varphi '}{1}}\mathbf {S} _{1}+{\frac {t^{2}\varphi ''}{1.2}}\mathbf {S} _{2}+{\frac {t^{3}\varphi '''}{1.2.3}}\mathbf {S} _{3}+\mathrm {etc.}$

Or il est facile de voir que $\mathrm {S_{1},\,S_{3},\,S_{5},\,S_{7}} ,$ etc. ont des valeurs nulles. À l’égard de $\mathrm {S_{2},\,S_{4},\,S_{6},\,S_{8}} ,$ etc., leurs valeurs sont les quantités que nous avons désignées précédemment par $\mathrm {A_{2},\,A_{4},\,A_{6},\,A_{8}} ,$ etc. : c’est pourquoi, en substituant ces valeurs dans l’équation $(e),$ on aura généralement, et quelle que soit la fonction $\varphi ,$

${\frac {1}{\pi }}\int du\varphi (t\sin .u)=\varphi +{\frac {\varphi ''t^{2}}{2^{2}}}+{\frac {\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}t^{4}}{2^{2}.4^{2}}}+{\frac {^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}t^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+\mathrm {etc.}$

Dans le cas dont il s’agit, la fonction $\varphi z$ représente $\cos .z,$ et l’on a

$\varphi =1,\quad \varphi ''=-1,\quad \varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=1,\quad \varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}=-1,$

ainsi de suite.

54. Pour connaître plus clairement la nature de la fonction $f\theta ,$ et celle de l’équation qui donne les valeurs de $g,$ il faudrait considérer la figure de la ligne qui a pour équation $y=1-{\frac {\theta }{1}}+{\frac {\theta ^{2}}{1^{2}.2^{2}}}-{\frac {\theta ^{3}}{1^{2}.2^{2}.3^{2}}}+$etc., et qui forme avec l’axe