etc. les intégrales définies
etc., on aura
![{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\int \cos .(t\sin .u)du=1-{\frac {t^{2}}{1.2}}\mathbf {S} _{2}+{\frac {t^{4}}{1.2.3.4}}\mathbf {S} _{4}-{\frac {t^{6}}{1.2.3.4.5.6}}\mathbf {S} _{6}+{\text{etc}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0504e2ea516e7f280e15d74efc105caf8a46477)
Il ne s’agit plus que de trouver
etc. Or la puissance
étant un nombre pair, peut être développée ainsi :
![{\displaystyle \sin .^{n}u=\mathrm {A} _{n}+\mathrm {B} _{n}\cos .2u+\mathrm {C} _{n}\cos .4u+{\text{etc}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55243b7cd6711bea5970331b6f24b23f68ebfd6b)
En multipliant par
et integrant entre les limites
et
on aura seulement
![{\displaystyle \int du\sin .^{n}u=\mathrm {A} _{n}\pi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4628c7724b3b7d1a09819b15328c3e01982cdf0c)
les autres termes s’évanouissent. Mais on a, d’après la formule connue pour le développement des puissances entières du sinus,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\mathrm {A} _{2}&={\frac {1}{2^{2}}}.&&{\frac {2}{1}},\\\mathrm {A} _{4}&={\frac {1}{2^{4}}}.&&{\frac {3.4}{1.2}},\\\mathrm {A} _{6}&={\frac {1}{2^{6}}}.&&{\frac {4.5.6}{1.2.3}},\\\mathrm {A} _{8}&={\frac {1}{2^{8}}}.&&{\frac {5.6.7.8}{1.2.3.4}},\\\mathrm {etc.} &\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/019bc63c434728f90297d711bfd060b5996347c9)
En substituant ces valeurs de
etc., on a
![{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\int \cos .(t\sin .u)\,du=1-{\frac {t^{2}}{2^{2}}}+{\frac {t^{4}}{2^{2}.4^{2}}}-{\frac {t^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+\mathrm {etc.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a27dcad7c3350f48cda861b221c2ccc8080051)
53 On peut rendre ce résultat plus général en prenant,