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suite $x=\mathrm {R}$ dans ces mêmes équations, et employant le signe $\int$ pour indiquer que l’intégrale est complète, on aura

$\int \left({\frac {\sigma }{x}}.{\frac {du}{dx}}dx\right)=\left(u{\frac {\sigma }{x}}\right)_{\omega }-\left(u{\frac {\sigma }{s}}\right)_{\alpha }-\int \left[ud\left({\frac {\sigma }{x}}\right)\right],$

et

$\int \left(\sigma {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}dx\right)=\left({\frac {du}{dx}}\sigma -u{\frac {d\sigma }{dx}}\right)_{\omega }-\left({\frac {du}{dx}}\sigma -u{\frac {d\sigma }{dx}}\right)_{\alpha }+\int \left(u{\frac {d^{2}\sigma }{dx^{2}}}{dx}\right).$

On obtient ainsi l’équation

$-{\frac {m}{\mathrm {K} }}\int (\sigma .u\,dx)=\int \left\{u{\frac {d^{2}\sigma }{dx^{2}}}-u{\frac {d\left({\frac {\sigma }{x}}\right)}{dx}}\right\}dx$

$+\left({\frac {du}{dx}}\sigma -u{\frac {d\sigma }{dx}}+u{\frac {\sigma }{x}}\right)_{\omega }-\left({\frac {du}{dx}}\sigma -u{\frac {d\sigma }{dx}}+u{\frac {\sigma }{x}}\right)_{\alpha }.$

On voit maintenant que si la quantité

${\frac {d^{2}\sigma }{dx^{2}}}-{\frac {d\left({\frac {\sigma }{x}}\right)}{dx}}$

qui multiplie $u$ sous le signe d’intégration dans le second membre, était égale au produit de $\sigma$ par un coëfficient constant, les termes

$\int u\left\{{\frac {d^{2}\sigma }{dx^{2}}}-{\frac {d\left({\frac {\sigma }{x}}\right)}{dx}}\right\}dx\quad {\text{et}}\quad \int \sigma u\,dx$

pourraient être réunis en un seul, et que l’on obtiendrait, pour l’intégrale cherchée $\int (\sigma udx),$ une valeur qui ne contiendrait que des quantités déterminées, et aucun signe d’intégration. Il ne resterait plus qu’à égaler cette valeur à zéro.