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on aura donc

$a\int (\sigma udx)=-a{\frac {\mathrm {K} }{m}}\int \left({\frac {\sigma }{x}}.{\frac {du}{dx}}+\sigma {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}\right)dx.$

En développant les termes

$\int \left({\frac {\sigma }{x}}.{\frac {du}{dx}}.dx\right)\quad {\text{et}}\quad \int \left(\sigma {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}.dx\right),$

on a

$\int \left({\frac {\sigma }{x}}.{\frac {du}{dx}}.dx\right)=\mathrm {C} +u{\frac {\sigma }{x}}-\int ud\left({\frac {\sigma }{x}}\right),$

et

$\int \left(\sigma {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}.dx\right)=\mathrm {D} +{\frac {du}{dx}}\sigma -u{\frac {d\sigma }{dx}}+\int u{\frac {d^{2}\sigma }{dx^{2}}}dx.$

Les intégrales

$\int \left({\frac {\sigma }{x}}.{\frac {du}{dx}}.dx\right)\quad {\text{et}}\quad \int \left(\sigma {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}.dx\right),$

devant être prises entre les limites $x=0$ et $x=\mathrm {R} ,$ on déterminera par cette condition les quantités qui entrent dans le développement et ne sont point sous le signe $\int .$ Pour désigner la valeur que reçoit une expression quelconque lorsqu’on y suppose à $x$ sa première valeur zéro, on affectera cette expression de l’indice $\alpha ,$ et on lui donnera l’indice $\omega$ pour indiquer ce que devient une fonction de $x$ lorsqu’on donne à cette variable $x$ sa dernière valeur $\mathrm {R} .$

On aura donc, en supposant dans les deux équations $x=0,$

$0=\mathrm {C} +\left(u{\frac {\sigma }{x}}\right)_{\alpha }\quad {\text{et}}\quad 0=\mathrm {D} +\left({\frac {du}{dx}}\sigma -u{\frac {d\sigma }{dx}}\right)_{\alpha }\,;$

on en conclut les valeurs des constantes $\mathrm {C}$ et $\mathrm {D} .$ Faisant en-