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${\frac {1}{\pi }}\int \left[\cos .\left({\frac {2x}{\mathrm {R} }}{\sqrt {\theta _{i}}}\sin .q\right)dq\right]$

Toutes les intégrales par rapport à $x$ doivent être prises depuis $x=0$ jusqu’à $x=\mathrm {R} \,;$ et pour trouver la fonction $u,$ on doit intégrer depuis $q=0$ jusqu’à $q=\pi .$ $\varphi x$ est la valeur initiale de la température, prise dans l’intérieur du cylindre à la distance de l’axe, et cette fonction est entièrement arbitraire. Les quantités $\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3},\theta _{4},$ etc., sont les racines réelles et positives de l’équation

${\frac {h\mathrm {R} }{\mathrm {2K} }}={\frac {\theta }{1-{\cfrac {\theta }{2-{\cfrac {\theta }{3-{\cfrac {\theta }{4-{\cfrac {\theta }{5-\mathrm {etc.} }}}}}}}}}}$

Si l’on suppose que le cylindre ait été long-temps plonge dans un fluide entretenu à une température constante, toute la masse se trouvera également échauffée, et la fonction $\varphi x,$ qui représente l’état initial, sera remplacée par l’unité. Après cette substitution, l’équation générale représentera toutes les circonstances du refroidissement.

On a désigné dans les calculs, par les nombres $h$ et $\mathrm {K} ,$ les valeurs numériques $h$ et $\mathrm {K}$ de la conductibilité extérieure et de la conductibilité spécifique : mais on s’est quelquefois servi de ces mêmes lettres $h$ et $\mathrm {K}$ pour désigner les rapports ${\frac {h}{\mathrm {K} }}$ et $\mathrm {\frac {K}{CD}} .$

Ce double emploi a pu occasionner quelques erreurs de transcription ou de calcul : on les rectifiera aisément en ayant égard à l’homogénéité des termes. Pour cela il suffit de remar-