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IX.

De la propagation de la chaleur dans un prisme dont l’extrémité
est assujettie à une température constante.

57. Le mouvement uniforme de la chaleur dans l’intérieur d’un prisme d’une longueur infinie, assujetti par son extrémité à une température constante, est exprime par l’équation

${\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}=0.$

Pour intégrer cette équation, on cherchera en premier lieu une valeur particulière de $v,$ en remarquant que cette fonction $v$ doit demeurer la mème lorsque $y$ change de signe, ou lorsque $z$ change de signe, et qu’elle doit être infiniment petite lorsque la distance $x$ est infiniment grande. D’après cela il est facile de voir que l’on peut prendre pour valeur particulière de $v$ la fonction

$ae^{-mx}\cos .ny\cos .pz\,:$

et faisant la substitution on trouve

$-m^{2}+n^{2}+p^{2}.$

Mettant donc pour $n$ et $p$ des quantités quelconques, on aura

$m={\sqrt {n^{2}+p^{2}}}\,;$

et de plus la valeur de $v$ doit satisfaire à l’équation déterminée ${\frac {h}{\mathrm {K} }}v+{\frac {dv}{dy}}=0$ lorsque $y=l$ ou $-l,$ et à l’équation