Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 4.djvu/817

d’où l’on tire

${\frac {\sin .nl}{2nl+\sin .2nl}}={\frac {1}{4}}a.$

On déterminera de cette manière les coëfficients $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},$ etc. Il en sera de même des coëfficients $b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},$ etc., qui seront respectivement les mêmes que les précédents.

Il est aisé maintenant de former la valeur générale de $v.$

1^o Elle satisfait à l’équation

${\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}=0\,;$

2^o elle satisfera aux deux conditions

$\mathrm {K} {\frac {dv}{dy}}+hv=0\quad {\text{et}}\quad \mathrm {K} {\frac {dv}{dz}}+hv=0\,;$

3^o elle donnera une valeur constante $1$ pour $v$ lorsqu’on fera $x=0,$ quelles que soient d’ailleurs les valeurs de $y$ et de $z$ comprises entre $0$ et $l.$ Ainsi elle résoudra dans toute son étendue la question proposée.

On peut maintenant former la série

${\frac {1}{4}}={\frac {\sin .n_{1}l\cos .n_{1}y}{2n_{1}l+\sin .2n_{1}l}}+{\frac {\sin .n_{2}l\cos .n_{2}y}{2n_{2}l+\sin .2n_{2}l}}+{\frac {\sin .n_{3}l\cos .n_{3}y}{2n_{3}l+\sin .2n_{3}l}}+\mathrm {etc.} \,;$

ou, désignant les arcs $n_{1}l,n_{2}l,n_{3}l,$ etc. par $\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\varepsilon _{3},$ etc.,

${\frac {1}{4}}={\frac {\sin .\varepsilon _{1}\cos .\left(\varepsilon _{1}{\frac {y}{l}}\right)}{2\varepsilon _{1}+\sin .2\varepsilon _{1}}}{\frac {\sin .\varepsilon _{2}\cos .\left(\varepsilon _{2}{\frac {y}{l}}\right)}{2\varepsilon _{2}+\sin .2\varepsilon _{2}}}{\frac {\sin .\varepsilon _{3}\cos .\left(\varepsilon _{3}{\frac {y}{l}}\right)}{2\varepsilon _{3}+\sin .2\varepsilon _{3}}}+\mathrm {etc.} ,$

qui a lieu pour toutes les valeurs de $y$ comprises entre $0$ et $l,$ et par conséquent pour toutes celles qui sont comprises entre $0$ et $-l.$