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Or une valeur quelconque de $n$ satisfait à l’équation

$n\operatorname {tang} .nl={\frac {h}{\mathrm {K} }}\,;$

il en est de même de $r:$ on aura donc

$n\operatorname {tang} .nl=r\operatorname {tang} .rl.$

ou

$n\sin .nl\cos .rl-r\sin .rl\cos .nl=0.$

Ainsi l’intégrale suivante, qui se réduit à

${\frac {a}{\left(n^{2}-r^{2}\right)}}\left[n\sin .nl\cos .rl-r\cos .nl\sin .rl\right],$

est nulle. Il faut excepter le seul cas où $n=r.$ En reprenant dans ce cas l’intégrale

${\frac {a}{2}}\left[{\frac {\sin .(n-r)l}{n-r}}+{\frac {\sin .(n+r)l}{n+r}}\right].$

on voit que si $n=r,$ elle équivaut à la quantité

${\frac {1}{2}}a\left(l+{\frac {\sin .2nl}{2n}}\right).$

Il résulte de-là que si dans l’équation

$1=a_{1}\cos .n_{1}y+a_{2}\cos .n_{2}y+a_{3}\cos .n_{3}y+$etc.,

on veut déterminer le coëfficient d’un terme du second membre désignée par $a\cos .ny,$ il faut multiplier les deux membres par $\cos .ny.dy,$ et intégrer depuis $y=0$ jusqu’à $y=l\,:$ on aura pour résultat l’équation

$\int \cos .ny.dy={\frac {1}{2}}a\left(l+{\frac {\sin .2nl}{2n}}\right)={\frac {1}{n}}\sin .nl.$