donne à
dans
sa valeur
et que l’on intègre une fois depuis
jusqu’à
et une seconde fois depuis
jusqu’à
on aura la quatrième partie de la chaleur qui s’échappe par les surfaces latérales.
L’intégrale
étant prise entre les limites désignées, donne
![{\displaystyle {\frac {ha}{m{\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}}\sin .ml\cos .nl\,e^{-x{\sqrt {m^{2}+n^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d954ba1591a7502d04e5f3217a60e8abe8a8c4e3)
et l’intégrale
donne
![{\displaystyle {\frac {ha}{n{\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}}\cos .ml\sin .nl\,e^{-x{\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5953636a2ad97380544f6b75c071b54beb7203ab)
Donc la quantité de chaleur que le prisme perd à la surface dans toute la partie située à droite de la section dont l’abscisse est
se compose de tous les termes analogues à celui-ci
![{\displaystyle {\frac {4ha}{\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}e^{-x{\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}\left[{\frac {1}{m}}\sin .ml\cos .nl+{\frac {1}{n}}\cos .ml\sin .nl\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8535063be318c44ea54255690b23440e18e26c6)
D’un autre coté, la quantité de chaleur qui pénètre pendant le même temps à travers la section dont l’abscisse est
se compose de termes analogues à celui-ci
![{\displaystyle {\frac {4\mathrm {K} a{\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}{m.n}}e^{-x{\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}.\sin .ml.\sin .nl.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abc06d5a0992b61ab45ff866fb1c5deb63bce646)
Il ne reste donc qu’à examiner si l’on a l’équation
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {K} {\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}{m.n}}\sin .ml\sin .nl&={\frac {h}{m{\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}}\sin .ml\cos .nl\\&+{\frac {h}{n{\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}}\cos .ml\sin .nl,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0ee0bdd55707f7218832fb1ab7c026a8e898f4e)