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l’on remplacera $n_{1}l,n_{2}l,n_{3}l,n_{4}l,$ etc. par les valeurs, ${\frac {\pi }{2}},3{\frac {\pi }{2}},5{\frac {\pi }{2}},7{\frac {\pi }{2}},$ etc.; l’on mettra aussi la fraction $\alpha$ au lieu de $e^{-{\frac {x}{l}}{\frac {\pi }{2}}}.$ On trouvera alors

${\begin{aligned}v\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2}&=1\left\{\alpha ^{\sqrt {1^{2}+1^{2}}}-{\frac {1}{3}}\alpha ^{\sqrt {1^{2}+3^{2}}}+{\frac {1}{5}}\alpha ^{\sqrt {1^{2}+5^{2}}}-{\frac {1}{7}}\alpha ^{\sqrt {1^{2}+7^{2}}}+{\text{etc.}}\right\}\\&-{\frac {1}{3}}\left\{\alpha ^{\sqrt {3^{2}+1^{2}}}-{\frac {1}{3}}\alpha ^{\sqrt {3^{2}+3^{2}}}+{\frac {1}{5}}\alpha ^{\sqrt {3^{2}+5^{2}}}-{\frac {1}{7}}\alpha ^{\sqrt {3^{2}+7^{2}}}+{\text{etc.}}\right\}\\&+{\frac {1}{5}}\left\{\alpha ^{\sqrt {5^{2}+1^{2}}}-{\frac {1}{3}}\alpha ^{\sqrt {5^{2}+3^{2}}}+{\frac {1}{5}}\alpha ^{\sqrt {5^{2}+5^{2}}}-{\frac {1}{7}}\alpha ^{\sqrt {5^{2}+7^{2}}}+{\text{etc.}}\right\}\\&-{\frac {1}{7}}\left\{\alpha ^{\sqrt {7^{2}+1^{2}}}-{\frac {1}{3}}\alpha ^{\sqrt {7^{2}+3^{2}}}+{\frac {1}{5}}\alpha ^{\sqrt {7^{2}+5^{2}}}-{\frac {1}{7}}\alpha ^{\sqrt {7^{2}+7^{2}}}+{\text{etc.}}\right\}\\&+{\text{etc}}.\end{aligned}}$

On voit par ce résultat que la température des différents points de l’axe décroit rapidement à mesure qu’on s’éloigne de l’origine. Si donc on plaçait sur un support échauffé et maintenu à une température permanente un prisme d’une hauteur infinie, ayant pour base un quarré dont le demi côté $l$ serait très-grand, la chaleur se propagerait dans l’intérieur du prisme et se dissiperait par la surface dans l’air environnant, qu’on suppose à la température $0.$ Lorsque le solide serait parvenu à un état fixe, les points de l’axe auraient des températures très-inégales ; et à une hauteur égale à la moitié du côte de la base, la température du point le plus échauffé serait moindre que la cinquième partie de la température de la base.