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X.

Du mouvement varié de la chaleur dans un solide de forme cubique.

62. Nous allons présentement considérer l’équation

${\frac {dv}{dt}}=\mathrm {K} \left[{\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}\right]$

qui exprime le mouvement de la chaleur dans un solide de forme cubique exposé à l’action de l’air.

On supposera $v=e^{-mt}\cos .nx.\cos .py.\cos .qz,$ et en substituant dans la proposée on aura l’équation de condition

$m=\mathrm {K} \left[n^{2}+p^{2}+q^{2}\right].$

Il suit de la que si l’on met au lieu de $n,p,q,$ des quantités quelconques, et si on prend pour $m$ la quantité $\mathrm {K} \left[n^{2}+p^{2}+q^{2}\right],$ la valeur précédente de $v$ satisfera toujours à l’équation aux différences partielles. On aura donc pour une solution particulière l’équation

$v=e^{-\mathrm {K} \left(n^{2}+p^{2}+q^{2}\right)t}.\cos .nx\cos .py\cos .qz.$

L’état de la question exige aussi que si $x$ change de signe, $y$ et $z$ demeurant les mêmes, la valeur de $v$ ne change point, et que cela ait aussi lieu par rapport à $y$ et à $z.$ Or cette condition est remplie par la valeur de $v.$ Enfin les conditions relatives à l’état de la surface sont exprimées par les équations suivantes,

${\begin{aligned}\mathrm {K} {\frac {dv}{dx}}+hv=&0,\\\mathrm {K} {\frac {dv}{dy}}+hv=&0,\\\mathrm {K} {\frac {dv}{dz}}+hv=&0\,;\end{aligned}}$