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néaire de la chaleur. Elle consiste à déterminer les états successifs d’une barre prismatique d’une longueur infinie, dont l’état initial est donné, et qui est assujettie par son extrémité à une température constante : il s’agit d’exprimer par une formule générale la loi suivant laquelle la chaleur se propage vers l’extrémité opposée. La résolution de ces deux questions dépend de l’intégration de l’équation

${\frac {dv}{dt}}=\mathrm {\frac {K}{CD}} .{\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}-{\frac {hl.v}{\mathrm {CD.S} }},$

qui exprime le mouvement linéaire de la chaleur. $v$ est la température que le point placé à la distance $x$ de l’origine doit avoir après le temps écoulé $t,\,\mathrm {K} ,\,h,\,\mathrm {C,\,D} ,\,l,\,\mathrm {S} ,$ désignent la conducibilité intérieure, la conducibilité extérieure, la capacité spécifique de chaleur, la densité, le contour de la section perpendiculaire, et l’aire de cette section.

Nous considérons d’abord le cas où la chaleur initiale se propage librement dans la ligne infinie, ce qui est l’objet de la première question. Soit

$\mathrm {\frac {K}{CD}} =\mathrm {K} ,\qquad {\frac {hl}{\mathrm {CD.S} }}=h\,;$

dans l’équation

${\frac {dv}{dt}}=\mathrm {K} {\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}-h.v,$

on fera

$v=e^{-ht}z,$

et l’on aura

${\frac {dz}{dt}}=\mathrm {K} {\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}.$

On prendra pour $z$ la valeur particulière

$a\cos .qx.e^{-\mathrm {K} q^{2}t}.$