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$a$ et $q$ sont des constantes arbitraires. Soient $q_{1},q_{2},q_{3},$ etc., une suite de valeurs quelconques de $q,$ et $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},$ etc., une suite de valeurs correspondantes du coëfficient $a\,:$ on aura

$z=a_{1}\cos .q_{1}x.e^{-\mathrm {K} q_{1}^{2}t}+a_{2}\cos .q_{2}x.e^{-\mathrm {K} q_{2}^{2}t}+a_{3}\cos .q_{3}x.e^{-\mathrm {K} q_{3}^{2}t}+$etc.

Supposons maintenant 1^o que les valeurs $q_{1},q_{2},q_{3},$ etc. croissent par degrés infiniment petits, comme les abscisses $q$ d’une certaine courbe, en sorte qu’elles deviennent égales à $dq,\,2dq,\,3dq,$ etc., $dq$ étant la différentielle constante de l’abscisse ; 2^o que les valeurs $a_{1},a_{2},a_{3},$ etc. sont proportionnelles aux ordonnées $\mathrm {Q}$ de la même courbe, et qu’elles deviennent égales à $\mathrm {Q} _{1}dq,\,\mathrm {Q} _{2}dq,\,\mathrm {Q} _{3}dq,$ etc., $\mathrm {Q}$ étant une certaine fonction de $q.$ Il en résulte que la valeur de $z$ pourra être exprimée ainsi

$z=\int dq\mathrm {Q} \cos .qx.e^{-\mathrm {K} q^{2}t}.$

$\mathrm {Q}$ est une fonction $\operatorname {f} q$ entièrement arbitraire, et l’intégrale peut être prise de $q=0$ à $q={\frac {1}{0}}.$ Toute la difficulté se réduit à déterminer convenablement la fonction arbitraire $\mathrm {Q} .$ Pour y parvenir, il faut, en désignant par $\operatorname {\varphi } x$ les températures initiales des différents points de la barre, supposer $t$ nulle dans l’expression de $z,$ et l’égaler à $\varphi x\,:$ on a ainsi l’équation de condition

$\operatorname {\varphi } x=\int dq\mathrm {Q} \cos .qx.$

Si l’on mettait au lieu de $\mathrm {Q}$ une fonction quelconque de $q,$ et que l’on achevât l’intégration depuis $q=0$ jusqu’à $q={\frac {1}{0}}$