On exprimera comme il suit la valeur générale de
![{\displaystyle z=a_{1}.e^{-\mathrm {K} g_{1}^{2}t}\sin .g_{1}x+a_{2}.e^{-\mathrm {K} g_{2}^{2}t}\sin .g_{2}x+a_{3}.e^{-\mathrm {K} g_{3}^{2}t}\sin .g_{3}x+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/524d76f07bc827f4eb52624908712d8c8831b840)
etc.;
faisant ensuite
ce qui doit rendre nulle la valeur de
on aura pour déterminer la série des exposants
la condition
![{\displaystyle \sin .g_{i}\mathrm {X} =0,\quad {\text{ou}}\quad g_{i}\mathrm {X} =i\pi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bf83a0cd876a3c60ce284dd8e72c4f287c60750)
étant un nombre entier : donc
![{\displaystyle z=a_{1}.e^{-\mathrm {K} {\frac {\pi ^{2}}{\mathrm {X^{2}} }}t}\sin .\left(x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)+a_{2}.e^{-\mathrm {K} 2^{2}{\frac {\pi ^{2}}{\mathrm {X^{2}} }}t}\sin .\left(2x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c13bb7d961ff909d42217fdbfb00cbb1fd8fa4db)
![{\displaystyle +a_{3}.e^{-\mathrm {K} 3^{2}{\frac {\pi ^{2}}{\mathrm {X^{2}} }}t}\sin .\left(3x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2237f96f4f096652ed351ee2ce5eb77bd950750b)
etc.
Il ne reste plus qu’à déterminer la série des constantes
etc. Faisant
on a
![{\displaystyle z=\operatorname {\varphi } x=a_{1}\sin .\left(x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)+a_{2}\sin .\left(2x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)+a_{3}\sin .\left(3x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22f3c9d9565fb106ee49b545a17b2985aa1e5bb3)
etc.
Soit
et désignons
ou
par
on aura
![{\displaystyle \operatorname {\textit {f}} u=a_{1}\sin .u+a_{2}\sin .2u+a_{3}\sin .3u+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d797ebbea98cbeb59b83045478bb81a14fbcb08b)
etc.
Or on a trouvé précédemment
![{\displaystyle a_{i}={\frac {2}{\pi }}\int du\operatorname {\textit {f}} u\sin .iu,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fefe5991851f8f4b5aca762ff68f6f246f33790)
l’intégrale étant prise de
à
donc
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {X} }{2}}a_{i}=\int dx\operatorname {\varphi } x\sin .\left(i{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}x\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c9efd8fcd8b195bf2dd563d03bd5880dded280c)
l’intégrale étant prise de
à
c’est-à-dire de ![{\displaystyle x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/953917eaf52f2e1baad54c8c9e3d6f9bb3710cdc)