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On exprimera comme il suit la valeur générale de $z,$

$z=a_{1}.e^{-\mathrm {K} g_{1}^{2}t}\sin .g_{1}x+a_{2}.e^{-\mathrm {K} g_{2}^{2}t}\sin .g_{2}x+a_{3}.e^{-\mathrm {K} g_{3}^{2}t}\sin .g_{3}x+$etc.;

faisant ensuite $x=\mathrm {X} ,$ ce qui doit rendre nulle la valeur de $z,$ on aura pour déterminer la série des exposants $g$ la condition

$\sin .g_{i}\mathrm {X} =0,\quad {\text{ou}}\quad g_{i}\mathrm {X} =i\pi ,$

$i$ étant un nombre entier : donc

$z=a_{1}.e^{-\mathrm {K} {\frac {\pi ^{2}}{\mathrm {X^{2}} }}t}\sin .\left(x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)+a_{2}.e^{-\mathrm {K} 2^{2}{\frac {\pi ^{2}}{\mathrm {X^{2}} }}t}\sin .\left(2x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)$

$+a_{3}.e^{-\mathrm {K} 3^{2}{\frac {\pi ^{2}}{\mathrm {X^{2}} }}t}\sin .\left(3x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)+$etc.

Il ne reste plus qu’à déterminer la série des constantes $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},$ etc. Faisant $t=0,$ on a

$z=\operatorname {\varphi } x=a_{1}\sin .\left(x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)+a_{2}\sin .\left(2x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)+a_{3}\sin .\left(3x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)+$etc.

Soit ${\frac {\pi x}{\mathrm {X} }}=u,$ et désignons $\operatorname {\varphi } x,$ ou $\operatorname {\varphi } \left(u{\frac {\mathrm {X} }{\pi }}\right),$ par $\operatorname {\textit {f}} u\,;$ on aura

$\operatorname {\textit {f}} u=a_{1}\sin .u+a_{2}\sin .2u+a_{3}\sin .3u+$etc.

Or on a trouvé précédemment

$a_{i}={\frac {2}{\pi }}\int du\operatorname {\textit {f}} u\sin .iu,$

l’intégrale étant prise de $u=0$ à $u=\pi \,:$ donc

${\frac {\mathrm {X} }{2}}a_{i}=\int dx\operatorname {\varphi } x\sin .\left(i{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}x\right),$

l’intégrale étant prise de $u=0$ à $u=\pi ,$ c’est-à-dire de $x=0$