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Si l’on fait $t=0,$ on aura

${\frac {\pi (v)}{2}}=\int {\frac {dq\cos .qx}{1+q^{2}}}$

ce qui correspond à l’état initial. Donc l’expression

${\frac {2}{\pi }}\int {\frac {dq\cos .qx}{1+q^{2}}}$

équivaut à $e^{-x}.$ Il faut remarquer maintenant que la fonction $\operatorname {\varphi } x$ qui représente l’état initial, ne change point de valeur, par hypothèse, lorsque $x$ devient négative ; car la chaleur communiquée par le foyer se propage également à la droite et à la gauche du point qui la reçoit immédiatement. Il suit de là que la ligne dont l’équation serait

$y={\frac {2}{\pi }}\int {\frac {dq\cos .qx}{1+q^{2}}}$

est composée de deux branches symétriques, que l’on forme en répétant à gauche de l’axe des $y$ la partie de la logarithmique qui est à la droite de cet axe, et a pour équation $y=e^{-x}.$ On voit ici un second exemple d’une fonction discontinue exprimée par une intégrale définie.

69. La question de la propagation de la chaleur dans une barre infinie dont l’extrémité est assujettie à une température constante, se réduit, comme on le verra dans la suite (article 72), à celle de la diffusion de la chaleur dans une ligne infinie : mais il faut supposer que la chaleur initiale, au lieu d’affecter également les deux moitiés contiguës du solide, y est disposée d’une manière contraire : c’est-à-