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dire qu’en représentant par $\operatorname {\varphi } x$ la valeur initiale de la température d’un point éloigné de $x$ du milieu de la ligue, la température initiale du point opposé, pour lequel la distance est $-x,$ a pour valeur $-\operatorname {\varphi } x.$ Cette seconde question diffère très-peu de la précédente, et pouvait être résolue par les mêmes principes, mais il est préférable de faire dépendre cette solution de l’analyse que nous avons appliquée aux solides dont les dimensions sont déterminées.

Supposons qu’une partie $a\,b$ (fig. 12) de la barre prismatique infinie soit échauffée d’une manière quelconque, et que la partie opposée $\alpha \beta$ soit dans un état semblable, mais de signe contraire. Tout le reste du solide a $0$ pour température initiale. On suppose que le milieu environnant est entretenu à la température constante $0,$ et qu’il reçoit de la barre cu lui communique la chaleur par sa surface extérieure. Il s’agit de trouver quelle est, après un temps donne $t,$ la température $v$ d’un point dont la distance à l’origine $a$ est $x.$

On supposera que la barre a une longueur finie égale à $2\mathrm {X} ,$ et qu’à chacune de ses extrémités elle est maintenue par une cause quelconque à la température $0$ du milieu : on fera ensuite $\mathrm {X} ={\frac {1}{0}}.$ On emploiera d’abord l’équation comme

${\frac {dv}{dt}}=\mathrm {\frac {K}{CD}} .{\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}-{\frac {hl}{\mathrm {CD.S} }}v,$

ou

${\frac {dv}{dt}}=\mathrm {K} {\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}-hv\,;$

et faisant $v=e^{-ht}.z$ on aura

${\frac {dz}{dt}}=\mathrm {K} {\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}.$