ou
![{\displaystyle \mu \nu ={\frac {1}{2}}\pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e39a01b85574d62480d263b6b56727f7d60c299)
Ainsi le produit des deux transcendantes
![{\displaystyle \int du.u^{r}\sin .u\quad {\text{et}}\quad \int {\frac {du}{u.u^{r}}}\sin .u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebc783d4ca76408940f281112af34ab927ffee19)
est
Par exemple si
on trouve pour
sa valeur connue
![{\displaystyle {\sqrt {{\frac {1}{2}}\pi }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/445d809f00c76a155895cb04de839b390b7e4e65)
On trouve de la même manière
![{\displaystyle \int {\frac {du\cos .u}{\sqrt {u}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\pi }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95182dfa97989655204e1948f85820cda55d9656)
et de ces deux équations on pourrait aussi conclure la suivante
![{\displaystyle \int dte^{-t^{2}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edca499ad9dd8baadf9d6d6cdc0063e1c2ae2439)
l’intégrale étant prise de
à
qui est employée depuis long-temps. En effet on a
![{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {x}}}\cos .x+{\sqrt {-1}}\int {\frac {dx}{\sqrt {x}}}\sin .x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd5b59dadef3da2d8bf5685d43df49c6ac8d9610)
ou
![{\displaystyle 2\int {\frac {dx}{\sqrt {x}}}e^{x{\sqrt {-1}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\pi }}\left(1+{\sqrt {-1}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0d75dcbcfb4d92cf7e35421a1e2806ce12caab2)
et faisant
on trouve
![{\displaystyle \int dte^{-t^{2}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dc4162489ad6547d5aaf399bea1ddaee21e6293)