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ou celle-ci :

$u=a_{1}e^{-n_{1}^{2}\mathrm {K} t}\sin .n_{1}x+a_{2}e^{-n_{2}^{2}\mathrm {K} t}\sin .n_{2}x+a_{3}e^{-n_{3}^{2}\mathrm {K} t}\sin ..n_{3}x+{\text{etc}}\,;$

$a_{1},a_{2},a_{3},$ etc., $n_{1},n_{2},n_{3},$ etc. étant deux séries de constantes arbitraires. Il est aisé de voir que chacun de ces termes équivaut à l’intégrale

$\int dq\,e^{-q^{2}}\sin .n\left(x+2q{\sqrt {\mathrm {K} t}}\right),$

ou

$\int dq\,e^{-q^{2}}\cos .n\left(x+2q{\sqrt {\mathrm {K} t}}\right).$

En effet pour déterminer la valeur de l’intégrale

$\int dq\,e^{-q^{2}}\sin .n\left(x+2q{\sqrt {\mathrm {K} t}}\right),$

on lui donnera la forme suivante :

$\int \left(dqe^{-q^{2}}\sin .x.\cos .2q{\sqrt {\mathrm {K} t}}\right)+\int \left(dqe^{-q^{2}}\cos .x.\sin .2q{\sqrt {\mathrm {K} t}}\right),$

ou celle-ci :

${\begin{aligned}&\int dqe^{-q^{2}}\sin .x\left({\frac {1}{2}}e^{2q{\sqrt {-\mathrm {K} t}}}+{\frac {1}{2}}e^{-2q{\sqrt {-\mathrm {K} t}}}\right)\\+&\int dqe^{-q^{2}}\cos .x\left({\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}e^{2q{\sqrt {-\mathrm {K} t}}}-{\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}e^{-2q{\sqrt {-\mathrm {K} t}}}\right)\end{aligned}}$

qui équivaut à

${\begin{aligned}&e^{-\mathrm {K} t}\sin .x\left({\frac {1}{2}}\int dqe^{-\left(q-{\sqrt {-\mathrm {K} t}}\right)^{2}}+{\frac {1}{2}}\int dqe^{-\left(q+{\sqrt {-\mathrm {K} t}}\right)^{2}}\right)\\+&e^{-\mathrm {K} t}\cos .x\left({\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}\int dqe^{-\left(q-{\sqrt {-\mathrm {K} t}}\right)^{2}}-{\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}\int dqe^{-\left(q+{\sqrt {-\mathrm {K} t}}\right)^{2}}\right).\end{aligned}}$