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facilement (voir pages 506 et 507, art. 73) l’intégrale

$u=\int dqe^{-q^{2}}\varphi \left(x+2q{\sqrt {\mathrm {K} t}}\right)$

De l’équation connue

${\sqrt {\pi }}=\int dqe^{-q^{2}},$

l’intégrale étant prise de $q=-{\frac {1}{0}}$ à $q=+{\frac {1}{0}},$ on conclut celle-ci :

${\sqrt {\pi }}=\int dqe^{-(q+a)^{2}},$

et par conséquent

$e^{a^{2}}={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int dq\,e^{-q^{2}}.e^{-2aq},$

ou

$e^{a^{2}}={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int dq\,e^{-q^{2}}\left[1-2aq+{\frac {4a^{2}q^{2}}{2}}-{\frac {8a^{3}q^{3}}{2.3}}+{\text{etc}}.\right].$

Cette équation ayant lieu quelle que soit la valeur de $a,$ on développera le premier membre, et en comparant les coëfficients des puissances de $a,$ on obtiendra les valeurs déjà connues de l’intégrale $\int dqe^{-q^{2}}.q^{n}.$ Cette valeur est nulle lorsque $n$ est impair ; et l’on trouve, lorsque $n$ est un nombre pair $2m,$

$\int dqe^{-q^{2}}.q^{2m}={\frac {1.3.5.7\ldots (2m-1)}{2^{m}}}{\sqrt {\pi }}.$

On a employé précédemment pour l’intégrale de l’équation ${\frac {du}{dt}}=\mathrm {K} {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}$ l’expression

$u=a_{1}e^{-n_{1}^{2}\mathrm {K} t}\cos .n_{1}x+a_{2}e^{-n_{2}^{2}\mathrm {K} t}\cos .n_{2}x+a_{3}e^{-n_{3}^{2}\mathrm {K} t}\cos .n_{3}x+{\text{etc}}.$