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$y-Y=-{\frac {D'm'}{Dm}}(x-X)=-{\frac {D'Y}{DX}}x+{\frac {D'Y}{D}},$

ou

$y=-{\frac {D'Y}{DX}}x+{\frac {DY+D'Y}{D}}=-{\frac {D'Y}{Y}}x-{\frac {D''Y}{D}},$

à cause que l’on a ${\frac {m'}{m}}={\frac {Y}{X}}$ et $D+D'=-D''.$

Cette équation étant indépendante des angles dont les cosinus sont $n,n',n'',$ qui détermine la position du plan $GAM,$ les axes permanens passant par le point $A,$ correspondans aux diverses positions de ce plan, auront tous pour projection sur le plan des $xy$ une même droite représentée par cette équation, et seront par conséquent dans un même plan perpendiculaire à celui des $xy\,;$ mais parmi ces diverses positions du plan $GAM,$ il s’en trouve une où il se confond avec le plan des $xy,$ alors $n=0,$ $n'=0,$ $n''=1,$ et l’équation

$mn+m'n'+m''n''=0$

se trouve ainsi satisfaite d’elle-même ; l’équation

$y-Y={\frac {D'n}{Dn'}}(x-X)$

l’est aussi, puisqu’elle devient

${\frac {y-Y}{x-X}}={\frac {0}{0}}\,;$

mais, comme on a alors $Z=0,$ les deux autres équations des axes permanens passant par le point $A$ se réduisent à $z=0,$ en sorte que toutes les lignes menées par ce point dans le plan des $xy$ sont des axes permanens, et qu’en général, lorsque le point donné est dans un des plans principaux, la surface conique qui comprend tous les axes permanens qui y passent se change en deux plans, dont l’un est ce plan principal et l’autre lui est perpendiculaire.

Quand ou fait ainsi $n=0,$ $n'=0,$ $n''=1,$ les valeurs