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d’où

${\begin{aligned}X&=p+{\frac {cZ}{c''}},\\Y&=q+{\frac {c'Z}{c''}}.\end{aligned}}$

Si l’on substitue ces valeurs dans l’équation

$c'c''DX+cc''D'Y+cc'D''Z=0,$

et qu’on se rappelle que

$D+D'+D''=0,$

on verra qu’elfe se réduit à

$c'c''Dp+cc''D'q=0,$

ou

${\frac {c'}{c}}=-{\frac {D'q}{Dp}}\,;$

mais, par les formules connues de la trigonométrie sphérique ; on a $c=\cos \alpha \sin \beta ,\ c'=\sin \alpha \sin \beta ,$ et par conséquent

$\operatorname {tang} \alpha ={\frac {c'}{c}}=-{\frac {D'q}{Dp}}.$

Cette valeur de $\operatorname {tang} \alpha$ fait connaître îa direction que doit avoir la projection d’une ligne qui rencontre le plan des $xy$ en un point dont les coordonnées sont $p$ et $q$ pour qu’elfe soit un axe permanent et comme la valeur de $\operatorname {tang} \alpha$ est indépendante de l’angle $\beta ,$ c’est-à-dire de l’inclinaison de la ligne donnée sur les plans des $xy,$ tous les axes permanens qui passent par le point de ce plan dont $p$ et $q$ sont les coordonnées, seront tous compris dans le plan parallèle à l’axe des $z,$ dont l’intersection avec celui des $xy$ est la projection dont nous venons de déterminer la direction ; ce qui s’accorde avec ce qui a été dit des propriétés des plans de convergence dans le chapitre précédent.