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la valeur de $AO$ se réduit donc à

$AO=Z'+{\frac {cc'D''}{M(cY-c'X)}},$

et, en y substituant à $X$ et à $Y$ les valeurs

${\begin{aligned}X&=p+{\frac {cZ}{c''}},\\Y&=q+{\frac {c'Z}{c''}},\end{aligned}}$

elle devient

$AO=Z'+{\frac {cc'D''}{M(cq-c'p)}}.$

Si l’on abaisse du centre d’inertie la perpendiculaire $GK$ sur la ligne donnée $AM,$ la distance $AK$ sera celle que nous avons désignée par $Z',$ et par conséquent

$KO=AO-AK={\frac {cc'D''}{M(cq-c'p)}}\,;$

mais nous avons vu qu’on a

${\begin{aligned}c\,&=\cos \alpha \sin \beta ={\frac {Dp\sin \beta }{\sqrt {D^{2}p^{2}+D^{'2}q^{2}}}}\\c'&=\sin \alpha \sin \beta =-{\frac {D'q\sin \beta }{\sqrt {D^{2}p^{2}+D^{'2}q^{2}}}},\end{aligned}}$

on tire de ces valeurs

$cc'=-{\frac {DD'pq\sin ^{2}\beta }{D^{2}p^{2}+D^{'2}q^{2}}}$

et

$cq-c'p={\frac {Dpq\sin \beta +D'pq\sin \beta }{\sqrt {D^{2}p^{2}+D^{'2}q^{2}}}}=-{\frac {D''pq\sin \beta }{\sqrt {D^{2}p^{2}+D^{'2}q^{2}}}}$

ainsi

$KO={\frac {DD'\sin \beta }{M{\sqrt {D^{2}p^{2}+D^{'2}q^{2}}}}}.$