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l’élément intermédiaire acquiert, à raison de sa place dans le sens des $y,$ une quantité de chaleur égale à

$\delta \left(k{\frac {dv}{dy}}2\pi ydx\right).$

Il suit de là que la température de chaque point du solide sera invariable si l’on a l’équation

$d\left(k{\frac {dv}{dx}}ydy\right)+\delta \left(k{\frac {dv}{dy}}ydx\right)=0,$

ou                                        ${\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}+{\frac {1}{y}}\cdot {\frac {dv}{dy}}=0,$

et si en même temps tous les points de la surface sont exposés à une action extérieure qui les oblige de conserver leurs températures initiales. On pourrait aussi déduire cette équation de l’équation générale (E) art. 15.

88. Il est nécessaire de remarquer que l’équation $v=\cos x\int e^{y\cos r}dr$ n’exprime qu’un état particulier et possible ; il y a une infinité de solutions pareilles, et cette dernière n’aurait lieu qu’autant que la température fixe diminuerait à la surface, depuis l’équateur jusqu’au pôle, suivant une loi conforme à cette même équation

$v=\cos x\int e^{y\cos r}dr.$ On pourrait aussi choisir l’équation

$v=a\cos nx\int e^{ny\cos r}dr,$

ou $v=a\cos nx\left(1+{\frac {n^{2}y^{2}}{2^{2}}}+{\frac {n^{4}y^{4}}{2^{2}\,4^{2}}}+{\frac {n^{6}y^{6}}{2^{2}\,4^{2}\,6^{2}}}+\ldots \right),$

dans laquelle $a$ est une constante indéterminée, et $n$ un nombre arbitraire ; et l’on voit que la somme de plusieurs de ces valeurs particulières satisfait encore à l’équation aux différences partielles. Mais on n’a en vue dans cet article