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d’après la seconde équation (3) ; donc à cause de $U_{0}=0,$ $G_{0}=0,$ on aura

${\begin{aligned}&-kb^{2}\iint {\frac {1}{\rho '}}\,{\frac {d\phi ''}{dr''}}\sin \theta ''d\theta ''d\psi ''=\\&\qquad -\left({\frac {r}{b^{3}}}U_{1}+{\frac {r^{2}}{b^{5}}}U_{2}+{\frac {r^{3}}{b^{7}}}U_{3}+\ldots +{\frac {r^{i}}{b^{2i+1}}}U_{i}+\&c.\right)\\&\qquad -{\frac {4\pi (1-k)}{3}}\left({\frac {r}{b^{3}}}G_{1}+{\frac {r^{2}}{b^{5}}}G_{2}+{\frac {r^{3}}{b^{7}}}G_{3}+\ldots +{\frac {r^{i+1}}{b^{2i+1}}}G_{i}+\&c.\right)\,;\end{aligned}}$

et la quantité $F,$ dans le cas où le point $M$ est en dedans de $A,$ aura pour valeur complète,

${\begin{aligned}F=&V_{0}+U-\left({\frac {r}{b^{3}}}U_{1}+{\frac {r^{2}}{b^{5}}}U_{2}+{\frac {r^{3}}{b^{7}}}U_{3}+\ldots +{\frac {r^{i}}{b^{2i+1}}}U_{i}+\&c.\right)\\&-{\frac {4\pi (1-k)}{3}}\left[r\left(H_{1}+{\frac {1}{b^{3}}}G_{1}\right)+r^{2}\left(H_{2}+{\frac {1}{b^{5}}}G_{2}\right)\right.\\&\left.+r^{3}\left(H_{3}+{\frac {1}{b^{7}}}G_{3}\right)+\ldots +r^{i}\left(H_{i}+{\frac {1}{b^{2i+1}}}G_{i}\right)+\&.\right]\end{aligned}}$

On a conservé, pour abréger, dans ces expressions générales de $F,$ les lettres $H_{1},H_{2},$ &c., $G_{1},G_{2},$ &c., à la place de leurs valeurs déterminées par les équations (3). Les valeurs de $F$ sont maintenant des fonctions de $r,\theta$ et $\psi ,$ qui contiennent, en outre, des quantités données dans chaque cas particulier. Il ne restera plus qu’à les différencier par rapport aux coordonnées rectangulaires $x,y,z$ du point $M,$ en y regardant $r,\theta ,\psi ,$ comme des fonctions de ces coordonnées, pour en conclure les composantes totales des forces qui agissent sur ce point, suivant leurs directions. Leur origine étant au centre de $A$ et l’axe des $z$ positives et le plan des $x,z,$ étant l’axe et le plan fixes d’où sont comptés les angles $\theta$ et $\psi ,$ on aura, dans ces différenciations,

$z=\cos \theta ,\quad y=r\sin \theta \sin \psi ,\quad x=r\sin \theta \cos \psi .$

(25) Dans le cas particulier où l’on a $k=1,$ les valeurs