d’après la seconde équation (3) ; donc à cause de
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&-kb^{2}\iint {\frac {1}{\rho '}}\,{\frac {d\phi ''}{dr''}}\sin \theta ''d\theta ''d\psi ''=\\&\qquad -\left({\frac {r}{b^{3}}}U_{1}+{\frac {r^{2}}{b^{5}}}U_{2}+{\frac {r^{3}}{b^{7}}}U_{3}+\ldots +{\frac {r^{i}}{b^{2i+1}}}U_{i}+\&c.\right)\\&\qquad -{\frac {4\pi (1-k)}{3}}\left({\frac {r}{b^{3}}}G_{1}+{\frac {r^{2}}{b^{5}}}G_{2}+{\frac {r^{3}}{b^{7}}}G_{3}+\ldots +{\frac {r^{i+1}}{b^{2i+1}}}G_{i}+\&c.\right)\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/637fd6372aa6bd45dfc5766242a6361835249b82)
et la quantité
dans le cas où le point
est en dedans de
aura pour valeur complète,
![{\displaystyle {\begin{aligned}F=&V_{0}+U-\left({\frac {r}{b^{3}}}U_{1}+{\frac {r^{2}}{b^{5}}}U_{2}+{\frac {r^{3}}{b^{7}}}U_{3}+\ldots +{\frac {r^{i}}{b^{2i+1}}}U_{i}+\&c.\right)\\&-{\frac {4\pi (1-k)}{3}}\left[r\left(H_{1}+{\frac {1}{b^{3}}}G_{1}\right)+r^{2}\left(H_{2}+{\frac {1}{b^{5}}}G_{2}\right)\right.\\&\left.+r^{3}\left(H_{3}+{\frac {1}{b^{7}}}G_{3}\right)+\ldots +r^{i}\left(H_{i}+{\frac {1}{b^{2i+1}}}G_{i}\right)+\&.\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cb37332b69aec220d207ce2745fc4f6e16f1747)
On a conservé, pour abréger, dans ces expressions générales de
les lettres
&c.,
&c., à la place de leurs valeurs déterminées par les équations (3). Les valeurs de
sont maintenant des fonctions de
et
qui contiennent, en outre, des quantités données dans chaque cas particulier. Il ne restera plus qu’à les différencier par rapport aux coordonnées rectangulaires
du point
en y regardant
comme des fonctions de ces coordonnées, pour en conclure les composantes totales des forces qui agissent sur ce point, suivant leurs directions. Leur origine étant au centre de
et l’axe des
positives et le plan des
étant l’axe et le plan fixes d’où sont comptés les angles
et
on aura, dans ces différenciations,
![{\displaystyle z=\cos \theta ,\quad y=r\sin \theta \sin \psi ,\quad x=r\sin \theta \cos \psi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5410ccf4286c0a9af9a87daea482ac0eec4c8223)
(25) Dans le cas particulier où l’on a
les valeurs