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histoire de l’académie,

équations. » Voici les questions principales qui se présentent : 1.° Quelle est la mesure exacte de la convergence de l’approximation ? et lorsqu’on procède à l’emploi de cette règle au moyen de substitutions successives, quelles sont les relations précises de cette opération avec celles qu’exige l’approximation newtonienne ? 2.° Peut-on employer un procédé analogue pour découvrir la seconde racine, la troisième, et en général toutes les racines réelles de la proposée, sans recourir à aucune autre méthode pour déterminer les limites de ces racines ? Quelles règles faut-il suivre dans cette application générale des séries récurrentes, et quelle est la mesure exacte de la convergence ? 3.° Lorsque les racines cherchées sont ou peuvent être imaginaires, le même emploi des séries récurrentes peut-il encore avoir lieu, et comment en déduira-t-on les valeurs de plus en plus approchées de la partie réelle de chaque racine et de la partie imaginaire ? L’auteur rapporte ensuite la solution distincte des trois questions précédentes, et cet exposé suffit pour faire connaître clairement l’objet et les résultats de ce premier Mémoire, terminé par le résumé suivant :

« Nous avons examiné avec le même soin les autres parties de cette science qui ont un rapport direct avec les résolutions numériques des équations, savoir : 1.° la règle singulière inventée par Newton, qui est fondée sur l’usage du parallélogramme analytique ; 2.° la méthode exégétique de Viète ; 3.°le théorème de Descartes sur la nature des racines, et son usage pour la résolution numérique des équations ; 4.° la méthode d’approximation de Newton, celle des fractions continues, et l’usage de l’équation aux différences ; 5.° la détermination effective des limites, et la distinction des racines imaginaires, par des règles générales toujours praticables et d’une application facile. Cette énumération suffit pour présenter l’ensemble de mon travail sur l’analyse