concours un travail où il avait adopté la fière devise de sa ville natale : « Non inultus premor ».
Dans ce Mémoire, qui fut retenu par la Commission et obtint la mention la plus honorable, il faisait connaître le résultat de ses premières études sur un problème qu’il n’avait pas craint de se poser, malgré son extrême généralité :
Intégrer toutes les équations différentielles linéaires à coefficients algébriques.
Il serait trop long d’indiquer par quelle suite de déductions il fut conduit, pour le résoudre, à introduire de nouvelles transcendantes, les fonctions fuchsiennes et kleinéennes, dont la découverte constitue, aujourd’hui encore, son titre de gloire le plus éclatant. Je me bornerai à donner une idée de ces nouvelles fonctions, autant qu’on peut le faire sans recourir à aucun signe mathématique.
La théorie des fonctions elliptiques nous avait fait déjà connaître les propriétés de la plus simple des fonctions fuchsiennes, le module de la fonction elliptique envisagé comme fonction du rapport des périodes. Cette fonction modulaire avait été complètement étudiée par Hermite qui avait fait connaître, en particulier, la remarquable propriété qu’elle possède, de se reproduire par des substitutions fractionnaires à coefficients entiers et au déterminant un. C’est cette propriété de la fonction modulaire[1] que généralise Poincaré en considérant des substitutions de même forme, mais à coefficients quelconques. La question se dédouble alors : il faut d’abord trouver tous les groupes discontinus formés de telles substitutions ; il faut ensuite former les fonctions qui demeurent invariables quand on applique ces substitutions à la variable indépendante. C’est ce double problème que Poincaré résout avec une simplicité inespérée, créant ainsi une théorie, qui embrasse comme cas très particulier les fonctions trigonométriques
- ↑ Il convient de ne pas oublier ici les recherches de M. H.-A. Schwarz sur la série hypergéométrique.
