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cyclide sont données par la formule

{\begin{aligned}x=&-{\frac {(\alpha +\lambda )u+\alpha '}{p+\delta }},\\y=&-{\frac {(\beta +\lambda )v+\beta '}{p+\delta }},\\z=&-{\frac {(\gamma +\lambda )w+\gamma '}{p+\delta }},\end{aligned}}

où $\lambda$ désigne un paramètre variable qui prend la valeur $\lambda _{k}$ quand le point vient se placer sur la surface $(\mathrm {S} _{k}).$ Comme dans le cas des cyclides, cherchons la surface décrite par tous les points de la normale qui correspondent à la même valeur de $\lambda .$

L’élimination de $u,v,w,$ puis de $p+\delta ,$ ne présente aucune difficulté et nous conduit à l’équation

(110)

{\rm {(QR'+RQ')^{2}=4QRP^{2},}}

où $\mathrm {R}$ désigne la fonction de $\lambda$ si souvent employée, et où l’on a

(111)

\left\{{\begin{aligned}\mathrm {Q} =&{\frac {x^{2}}{\alpha +\lambda }}+{\frac {y^{2}}{\beta +\lambda }}+{\frac {z^{2}}{\gamma +\lambda }}-1,\\\mathrm {P} =&{\frac {\alpha 'x}{\alpha +\lambda }}+{\frac {\beta 'y}{\beta +\lambda }}+{\frac {\gamma 'z}{\gamma +\lambda }}.\end{aligned}}\right.

On voit que l’équation (110) représente une surface du quatrième ordre à conique double qui, par raison de continuité, admet pour normales les normales ordinaires de la paracyclide lorsqu’on prend comme absolu $(\mathrm {Q} _{\lambda }).$

Sa polaire réciproque par rapport à $(\mathrm {Q} _{\lambda })$ s’obtiendra, de même, en remplaçant ${\frac {x}{\alpha +\lambda }},{\frac {y}{\beta +\lambda }},{\frac {z}{\gamma +\lambda }},$ par ${\frac {-u}{p}},{\frac {-v}{p}},{\frac {-w}{p}},$ ce qui donnera, en posant