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l’équation précédente ne contiendra plus $p$ et représentera, par conséquent, une conique située dans le plan de l’infini. Son équation

$\mathrm {R} '\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right)+{\mathfrak {L}}^{2}=0$

montre qu’elle sera tangente au cercle de l’infini. Elle se réduira même à ce cercle pour $\lambda =\infty .$ On retrouvera ainsi la paracyclide à centre.

En résumant les résultats de cet article, on peut énoncer les théorèmes suivants :

Dans le cas de la cyclide, une normale quelconque de la surface coupe les cinq quadriques déférentes en cinq points dont les rapports anharmoniques sont constants. Les surfaces décrites par le point de la normale qui, avec les cinq points précédents, détermine une division homographique à une division fixe, sont des surfaces du quatrième ordre à conique double ; chacune d’elles admet pour normales les normales ordinaires de la cyclide, pourvu que l’on construise ces normales en prenant pour absolu la quadrique homofocale de même paramètre. Par conséquent, les lignes de courbure de la surface par rapport à cet absolu correspondront aux lignes de courbure ordinaires de la cyclide.

Dans le cas de la paracyclide, les quatre points où la normale rencontrent les quatre dirimantes et le plan de l’infini forment une division homographique à une division fixe. Tout point de la normale qui forme avec eux une division homographique à une division fixe décrit une surface du quatrième ordre à conique double dont les normales sont les normales ordinaires de la paracyclide lorsqu’on les détermine en prenant pour absolu la surface homofocale correspondante. Par conséquent, les lignes de courbure de cette surface du quatrième ordre par rapport à cet absolu correspondront aux lignes de courbure ordinaires de la paracyclide.

Ainsi, dans l’un et l’autre cas, la normale ordinaire de la surface est normale cayleyenne à une infinité de surfaces, auxquelles il faut joindre leurs polaires réciproques par rapport aux absolus respectifs ; et toutes les lignes de courbure de ces surfaces se correspondent. Mais il ne faudrait pas croire qu’il s’agit là d’une intégration nouvelle ; car le lecteur vérifiera aisément sur les équations (106), (109), (110), (113) que, dans chaque cas, la quadrique prise pour absolu est une de celles qui sont inscrites dans la surface du quatrième ordre ou de quatrième classe correspondante.