était impair,
devrait être pair, et le second membre de notre équation serait impair, tandis que le premier est divisible par
puisque
est pair. On en conclura que l’équation précédente ne peut, se partager en deux autres que de la manière suivante qui suppose
![{\displaystyle g=5^{6}.2^{9}u^{10},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8896aa80fd30338e032be6e9e7f72a69b944586f)
![{\displaystyle f^{4}+10f^{2}g^{2}+5g^{4}=r^{'10}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04db10e801cc0a109a40f93001966da8e4da1dec)
Dans la seconde équation, le premier membre peut se mettre sous la forme
donc son diviseur
doit être de la forme
il en est de même de
et on pourra par conséquent faire
ce qui donnera
et
étant des fonctions semblables à
et
on aura donc l’équation
![{\displaystyle \left(f^{2}+5g^{2}\right)^{2}-5\left(2g^{2}\right)^{2}=\mathrm {F^{'2}-5G^{'2}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df7e39254cdf639e7c9649649a6a216f9e7677ea)
dans laquelle
et on trouvera comme ci-dessus que la seule solution admissible est
![{\displaystyle 5^{11}.2^{19}u^{20}=g'\left(f^{'4}+10f^{'2}g^{'2}+5g^{'4}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f25df726f5b3a489ed2cd6bcecc1e368014e004)
Faisant encore
étant premier à
cette équation ne pourra se partager en deux autres que de cette manière
![{\displaystyle g'=5^{11}.2^{19}u^{'20},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c475fb62980101ab0539b53059f1203eefd6eeeb)
![{\displaystyle f^{'4}+10f^{'2}g^{'2}+5g^{'4}=r^{''20}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f148018f55b8631577f8362ba390e1e5785e3441)
42. Nous retombons ainsi sur des équations qui sont toujours de même forme et dont la série peut se continuer à l’infini.
Or ayant fait successivement