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était impair, $f$ devrait être pair, et le second membre de notre équation serait impair, tandis que le premier est divisible par $2^{9},$ puisque $t$ est pair. On en conclura que l’équation précédente ne peut, se partager en deux autres que de la manière suivante qui suppose $t=2ur',$

$g=5^{6}.2^{9}u^{10},$

$f^{4}+10f^{2}g^{2}+5g^{4}=r^{'10}.$

Dans la seconde équation, le premier membre peut se mettre sous la forme $\left(f^{2}+5g^{2}\right)^{2}-5\left(2g^{2}\right)^{2}\,;$ donc son diviseur $r'$ doit être de la forme $p^{2}-5q^{2}$ il en est de même de $r^{'2},$ et on pourra par conséquent faire $r^{'2}=f^{'2}-5g^{'2},$ ce qui donnera $r^{'10}=\mathrm {F^{'2}-5G^{'2}} ,$ $\mathrm {F} '$ et $\mathrm {G} '$ étant des fonctions semblables à $\mathrm {F}$ et $\mathrm {G} \,;$ on aura donc l’équation

$\left(f^{2}+5g^{2}\right)^{2}-5\left(2g^{2}\right)^{2}=\mathrm {F^{'2}-5G^{'2}} ,$

dans laquelle $2g^{2}=5^{12}.2^{19}u^{20},$ et on trouvera comme ci-dessus que la seule solution admissible est

$5^{11}.2^{19}u^{20}=g'\left(f^{'4}+10f^{'2}g^{'2}+5g^{'4}\right).$

Faisant encore $u=u'r'',$ $r''$ étant premier à $10u',$ cette équation ne pourra se partager en deux autres que de cette manière

$g'=5^{11}.2^{19}u^{'20},$

$f^{'4}+10f^{'2}g^{'2}+5g^{'4}=r^{''20}.$

42. Nous retombons ainsi sur des équations qui sont toujours de même forme et dont la série peut se continuer à l’infini.

Or ayant fait successivement $x=-5tr,$ $t=2ur',$ $u=u'r'',$